演算子としてのベクトル

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参考

このページの内容は議論の本筋から外れるので読まなくてもよい。

ただし、このページの内容は多様体論と関連して重要である。

定義 ( 座標関数 )

x=(x、・・・、x)∈ に対し、次のように定義する。



このとき、各 x を 『 座標関数 』 という、

定義 ( 演算子としての方向微分 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

次のように定義する。



このとき、vf を 『 v による f の方向微分 』 という。

つまり、v を演算子として見なすことができる。

微分積分学では v が単位ベクトルの場合に右辺を方向微分と呼ぶことが多い。

定義 ( dφ の再定義 )

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

次のように定義する。

dφ は以前にも定義した。

しかし、今回はそれを忘れて、定義(演算子としての方向微分)に基づいて定義した。

A5

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

v∈(p;v、・・・、v)∈ とおく。

このとき、

証明

p=(p、・・・、p)とおく。

いま、f(p+tv)=f(p+tv、・・・、p+tv)である。

よって、合成関数の微分より、

定義 ( ベクトルを演算子と見なしたときの自然基底 )

p∈ とおく。

次のような集合を考える。



いま、E は の基底と見なせる。(※A5)

そこで、E を 『 の自然基底 』 という。

つまり、E は偏微分の演算子の集合である。

参考

点 p を始点とする単位ベクトルの集合 { e、・・・、e } も の自然基底と呼ばれる。

つまり、見方によって、 の基底として次の2種類が考えられる。



この2つは同一視できる。

実際、f を実数値関数とすると、

A6 ( A4に対応する定理 )

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

φ=(φ、・・・、φ)とおく。

dφφ(p) を点 p∈U におけるφの写像とする。

E を の自然基底とする。

F を φ(p) の自然基底とする。

つまり、定義(ベクトルを演算子と見なしたときの自然基底)より、



A=(aij)を E と F に関する表現行列とする。

このとき、A はφのヤコビ行列である。

つまり、次が成り立つ。

証明

定義(dφの再定義)より、



よって、表現行列の定義より、

A7

v∈ とおく。

、・・・、x を座標関数とする。

、・・・、E を座標ベクトル場とする。

このとき、

証明

v=(p;v、・・・、v)とおく。

いま、v=1≦i≦n(p)と表せる。

また、v(x)=v である。(※A5)

よって、v=1≦i≦nv(x)E(p)である。

A8

U を の開集合とする。

f、g:U→ を関数とする。

u、v∈ とおく。

a、b を実数とする。

このとき、

(1) (au+bv)f=auf+bvf

(2) v(af+bg)=avf+bvg

(3) v(fg)=(vf)g(p)+f(p)vg

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

A5 より、