演算子としてのベクトル場

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参考

このページの内容は議論の本筋から外れるので読まなくてもよい。

ただし、このページの内容は多様体論と関連して重要である。

定義 ( ベクトル場の関数への作用 )

X:U→2n をベクトル場とする。

( つまり、U は の開集合である )

f:U→ を関数とする。

次のように定義する。



このとき、Xf を 『 X の f への作用 』 という。

つまり、ベクトル場を演算子として扱う。

参考

fX と Xf を混同しないように注意しよう。

fX はベクトル場である。

Xf は関数である。

A9

X、Y:U→2n をベクトル場とする。

f、g、h:U→ を関数とする。

a、b を実数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (gX+hY)f=gXf+hYf

(2) X(af+bg)=aXf+bXg

(3) X(fg)=(Xf)g+fXg

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

p∈ とおく。

A8 より、

A10

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

、・・・、E:U→2n を座標ベクトル場とする。

このとき、

証明

i=1の場合について考える。

定義(ベクトル場の関数への作用)、A5 より、



i=2、・・・、n の場合も同様に示される。

A11

U を の開集合とする。

、・・・、x:U→ を座標関数とする。

、・・・、E:U→2n を座標ベクトル場とする。

このとき、

証明

明らかである。(※A7、A10)

参考

改めて定義を書き下してみよう。



いま、(*1)は 『 点 p の近傍で定義された関数全体 』 から への写像を意味する。

つまり、f を任意に動かして、これに実数を対応させていたのである。

一方、f を固定して v を動かすこともできるはずである。

その立場から考えるとき、(*1)を ∇f と表すことにしよう。

このとき、(*2)は自然に ∇f と表せる。