f:M→Rの微分

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参考 ( 曲面上の関数に微分を定義するには? )

M を 内の k 次元多様体とする。

U を M の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

このとき、f の偏微分をどのように定義すればよいであろうか?

もしかしたら、

「 普通に偏微分すればよいのでは? 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、それは違う。

たしかに、いま、f(x、・・・、x)と表すことができる。

これにより、あたかも、f が x などで偏微分できるかのように錯覚してしまうかもしれない。

しかし、そもそも、U は M の開集合であって、 の開集合ではない。

よって、f が偏微分できるとは限らない。(★)

そこで、以下、曲面上の関数に対して微分を定義する方法について考えてみよう。

(★)について補足

分かりにくければ、2変数実数値関数で考えてみればよい。

普通、2変数実数値関数を考えるとき、定義域としては xy 平面上の開集合を考えるであろう。

しかし、ここではこの定義域が xy 平面上の曲線になっているとする。

このとき、この関数を x 軸方向に微分することはできるであろうか?

いや、できないであろう。

なぜなら、この関数を x=a で切ったとしたら、これはただの点にしかならないからである。

つまり、 内の曲線上で定義された関数は偏微分できない。

同様に、 内の曲面上で定義された関数は偏微分できない。

定義 ( f:M→R の座標表示 )

M を 内の k 次元多様体とする。

U を M の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

φ:D→M をパラメータとする。

このとき、f*φ:D→ を 『 f の座標表示 』 という。

図示すると、

参考

定義(f:M→R の座標表示)において、f の定義域は M に含まれていることに注意しよう。

つまり、f の定義域は曲面上にある。

よって、f を x、・・・、x で偏微分することはできない。

むろん、f(x、・・・、x)と書くことはできるのだが、偏微分はできないのである。

だから、f(x、・・・、x)は本当の意味で座標表示にはなっていない。

そこで、パラメータφ:D→M を考えるのである。

このとき、f*φ:D→ は 『 普通 』 の多変数関数である。

実際、D は の開集合であるから、普通に f*φに対して偏微分を考えることができる。

そこで、f*φを 『 f の座標表示 』 と呼ぶのである。

定義 ( f:M→Rの滑らかさ )

M を 内の k 次元多様体とする。

U を M の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

任意のパラメータφ:D→M に対し、f*φは滑らかであるとする。

このとき、「 f は滑らかである 」 という。

つまり、f:M→ は偏微分可能であるとか、滑らかであるなどと言った場合、

これは f*φ が偏微分可能であるとか、滑らかであるということを意味するのである。

つまり、表面的には f:M→ を視ているのだが、その背景にはφがある。

以上により、私たちは曲面上の関数に対して微分を定義したのである。

同様の話は多様体論の書物などに登場する。

例えば、∂(f*φ)を∂f と表す。

このように、表面上はφを消して、普通の微分記号と同じように書くのである。

B2

M を 内の k 次元多様体とする。

φ:D→M、φ:D→M をパラメータとする。

φ(D)とφ(D)は共通部分をもっているとする。

このとき、φ−1*φ、φ−1*φ は滑らかな写像である。

補足

φ−1*φの定義域は D よりも小さくなる可能性がある。

φ−1*φの定義域は D よりも小さくなる可能性がある。

例えば、f:A→B、g:B→C の合成関数を考えてみよう。

もし、f(A)⊂B ならば、g*f:A→C である。

しかし、今回の場合、f(A)が B に含まれるとは限らない。

だから、g*f の定義域は A よりも小さくなる可能性がある。

ただし、微積の本では、合成関数を定義するときに f(A)⊂B を前提とすることが多い。

今回の話は、それとは区別する。

証明

この定理の証明は少し面倒である。

また、これは基礎づけとしては重要だが、本来の幾何とは異なる細かい議論になってしまう。

なので、これの証明は省略する。

その代わり、この定理の利点を次の参考にまとめておく。

参考

M を 内の k 次元多様体とする。

U を M の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

このとき、f が滑らかであることを示すにはどうすればよいか?

もし愚直に定義(f:M→Rの滑らかさ)に基づいて調べると大変である。

なぜなら、すべてのパラメータφについて f*φが滑らかであることを示さなければならないからである。

ところが、実際には、U を被覆するφを調べるだけでよい。

( 運がよければ、このようなφは1つだけで済む )

これを確認してみよう。

まず、M は、あるパラメータの族によって被覆されるとする。

これらφについて f*φが滑らかであることが既に分かったとする。

ψを、別の任意のパラメータとする。

いま、φ−1*ψは滑らかである。(※B2)

よって、f*φ*φ−1*ψは滑らかである。

ただし、f*φ*φ−1*ψの定義域は、f*ψより小さいかもしれない。(※B2の補足)

しかし、すべてのφを考えれば、f*φ*φ−1*ψから f*ψ を構成できる。(★)

よって、f*ψも滑らかであると結論できる。

(★)について補足

例えば、f*φ*φ−1*ψ:Uφ とし、f*ψ:V→ としてみよう。

いま、各φについて Uφ の和集合をとれば、これは V を被覆する。

つまり、任意の点 v∈V に対し、v∈Uφ となるφが存在する。

そこで、f*ψ(v)=f*φ*φ−1*ψ(v)と定義すればよいのである。

つまり、任意の v∈V に対し、f*ψ(v)が定まる。