共変性と反変性(視覚的な理解)

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参考 ( 直交座標について正射影を考える )

E={ e、e } を直交基底とする。( 単位ベクトルである必要はない )

例えば、次のようなベクトル v を考える。



v=(a、b)とおく。

つまり、



このように、v から e や e に影を下す操作を 『 正射影 』 という。

つまり、直交基底 { e、e } について正射影を考えた。

以下、上記の話を詳しく考察してみよう。

参考 ( 正射影〜その1 )

E={ e、e } を基底とする。( 直交基底とは限らないことに注意 )

と平行な方向から光を当てたときにできる v の影を v と表す。

と平行な方向から光を当てたときにできる v の影を v と表す。

つまり、



明らかに、v=v+v となる。

この(v、v)を 『 v の反変成分 』 という。

つまり、反変成分は 『 E に関して平行な正射影 』 の成分である。

参考 ( 正射影〜その2 )

E={ e、e } を基底とする。( 直交基底とは限らないことに注意 )

F={ e、e } を、次が成り立つように定める。

(*1) e は e と直交する。

(*2) e は e と直交する。

ただし、向きは下図のようにとる。



実数 v と v を、次のように定める。



明らかに、v=v+v である。

なぜなら、{ e、e } にとっては 『 正射影〜その1 』 だからである。

この { e、e } を 『{ e、e } の双対基底 』 という。

また、v と v を 『 v の共変成分 』 という。

つまり、共変成分は 『 双対基底に関して平行な正射影 』 の成分である。

参考 ( まとめ )

v をベクトルとする。

{ e、e } を基底とする。

{ e、e } を { e、e } の双対基底とする。

、v を v の反変成分とする。

、v を v の共変成分とする。

このとき、v=v+v=v+v である。

以前に、双対性の本質は次式で表されることを説明した。



今回は、これを2次元に限定して、視覚的に説明した。