ハウスドルフ空間の場合はどうするか?〜その1

サイトのTOP→理系インデックス
初等微分幾何のTOP→初等微分幾何インデックス





参考

このページでは、ハウスドルフ空間としての多様体を考える。

議論の本筋から外れるのでこのページを読まなくても後の理解に直接の影響はない。

参考

前のページでは 内の曲面について接空間を定義した。

では、同様のことをハウスドルフ空間で考えることはできるであろうか?

ハウスドルフ空間には、ユークリッド空間のような座標軸がない。

なので、ハウスドルフ空間に接空間を定義することは不可能であるように思える。

ところが、ある工夫をすることによって、この問題を解決できる。

その工夫とは、演算子をベクトルとして扱う方法である。

これについては前にも少し書いたが、ここでは一般化された立場から改めて述べる。

定義 ( ハウスドルフ空間としての多様体 )

M をハウスドルフ空間とする。

任意の点 p∈M に対し、ある開集合 U⊂M が存在して、次が成り立つとする。

(1) p∈U

(2) 同相写像φ:D→M が存在して、φ(D)=U となる。

また、任意のφ:D→M、φ:D→Mに対し、次が成り立つとする。

(3) φ(D)∩φ(D)が空でないならば、φ−1*φ は C級である。

ただし、D、D、D の開集合であるとする。

このとき、M を 『 C 級 k 次元多様体 』 という。

また、φを 『 点 p のまわりのパラメータ 』 という。

また、φ−1 を 『 点 p のまわりのチャート 』 という。

U とφ−1 をセットにして 『 局所座標近傍 』 と呼ぶ書物もある。

定義 ( 形式的な方向微分:ハウスドルフ空間 )

M をハウスドルフ空間とする。

f、g を、点 p∈M の近傍で定義された任意の関数とする。

v を、関数 f に実数 v(f)を対応させる形式的な操作とする。

次が成り立つとする。

(1) f と g が点 p の十分に小さな開近傍で一致すれば v(f)=v(g)である。

(2) v(af+bg)=av(f)+bv(g) ( a、b∈

(3) v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)

このとき、v を 『 形式的な方向微分 』 という。

f と g の定義域が異なっている場合、af+bg や fg の定義域は共通部分をとるものとする。

つまり、U を f の定義域とし、V を g の定義域とすれば、af+bg や fg の定義域は U∩V である。

定義 ( 曲線に沿う方向微分:ハウスドルフ空間 )

M を C 級 k 次元多様体とする。

U を点 p∈M の開近傍とする。

f:U→ を関数とする。

Γ:I→U を曲線とする。

次のように定義する。



このとき、vΓ を 『 Γに沿う方向微分 』 という。

明らかに、vΓ は形式的な方向微分である。(★)

(★)について補足

実際、vΓ は定義(形式的な方向微分)の(1)〜(3)を満たす。

例えば、(3)は次のように示される。

定義 ( 多様体上の偏微分 )

M を C 級 k 次元多様体とする。

p∈M とおく。

いま、パラメータφ:D→U が存在して、p∈U かつφ(D)=U となる。

いま、f*φ:D→ は普通の多変数実数値関数である。

よって、通常の意味で f*φを x で偏微分できる。



このとき、(*1)を次のように表す。

本来、f の定義域がハウスドルフ空間である場合、∂f/∂x という記号は意味をもたない。

なぜなら、ハウスドルフ空間には座標軸がないからである。

しかし、M が多様体であれば、f の背景にパラメータφを見出すことができる。

なので、∂(f*φ)/∂x を考えることができる。

そこで、これを∂f/∂x と表すのである。

つまり、ユークリッド空間と同様に、ハウスドルフ空間上で偏微分を議論できる。

このようにできるのは、多様体によってパラメータφの存在が保証されているおかげである。

むろん、次の関係が成り立つ。

定義 ( (∂/∂x

M を C 級 k 次元多様体とする。

p∈M とおく。

U を点 p∈M の開近傍とする。

f:U→ を関数とする。

次のように定義する。



明らかに、(∂/∂x は形式的な方向微分である。(★)

(★)について補足

実際、(∂/∂x は、定義(形式的な方向微分)の(1)〜(3)を満たす。

例えば、条件(2)は次のように示される。(※定義(多様体上の偏微分)の補足)

定義 ( DM

M を C 級 k 次元多様体とする。

点 p∈M における形式的な方向微分全体を DM と表す。

つまり、vΓ や (∂/∂x は、すべて DM に属する。

定義 ( TM

明らかに、次が成り立つ。

(1) DM はベクトル空間である。

(2) (∂/∂x、・・・、 (∂/∂x∈DM は1次独立である。

そこで、(∂/∂x、・・・、 (∂/∂x によって生成される DM の部分空間を TM と表す。

TM を 『 点 p における M の接空間 』 という。

(1)の証明

次のように定義する。

(*1) (u+v)(f)=u(f)+v(f)

(*2) (av)(f)=a(v(f))

いま、





よって、u+v∈DM である。

同様に、av∈DM が示される。

よって、DM はベクトル空間である。

(2)の証明

(∂/∂x+・・・+c(∂/∂x=0 と仮定する。

つまり、任意の関数 f に対し、



つまり、任意の関数 f に対し、



いま、f は任意である。

そこで、f=x とする。

いま、



よって、c=0 である。

同様に、c=0、・・・、c=0 である。

以上により、(∂/∂x、・・・、(∂/∂x は1次独立である。

参考

M を m次元 C 級多様体とする。

r<∞ の場合、TMは DM の真部分集合となることが知られている。

r=∞ の場合、DM=TM となることが知られている。

多様体の教科書では、r=∞ の場合だけに限定して議論を展開していることが多い。

そのような本では TM と DM の区別が付けられていない。

しかし、「 本によって読み替えなければならないのだろうか? 」 と心配する必要はない。

いずれの本にしても重要なのは接空間 TM の方である。

参考

以上で、ハウスドルフ空間上に接空間を定義した。