ハウスドルフ空間の場合はどうするか?〜その2

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参考

このページでは、ハウスドルフ空間としての多様体を考える。

議論の本筋から外れるのでこのページを読まなくても後の理解に直接の影響はない。

参考

M を m次元 C 級多様体とする。

p∈M とおく。

いま、2つのチャートφ:U、φ:U が存在して、p∈U∩U であるとする。

このとき、φ(p)=(a、・・・、a)、φ(p)=(b、・・・、b)と表せる。

むろん、一般には(a、・・・、a)と(b、・・・、b)は一致しない。

つまり、点 p の開近傍に座標を入れる方法は複数考えられる。

そこで、このことを強調するため、チャートと座標をセットで表すことにする。

つまり、今回の場合、(U;x、・・・、x)などと表すのである。

これを単に 『 チャート 』 と呼ぶ。

B6 ( 合成関数の偏微分 )

M を m次元 C 級多様体とする。

(U;x、・・・、x)、(V;y、・・・、y)を M のチャートとする。

U∩V は空ではないとする。

いま、次のように表せる。



このとき、U∩V上で次が成り立つ。

証明

これは微分積分学でよく知られている合成関数の微分と同じである。

B7

M を m次元 C 級多様体とする。

p∈M とおく。

このとき、接空間 TM はチャートの座標系の選び方に依存せず一意に定まる。

証明

(U;x、・・・、x)と(V;y、・・・、y)を、点 p∈M まわりのチャートとする。

U∩V は空でないとする。

ここで、次を考える。



(*1)によって生成されるベクトル空間と、(*2)によって生成されるベクトル空間が一致することを示せばよい。

B6 より、



記号を書き換えると、



f は任意であるから、



(*3)において∂y/∂x(p)は単なる実数であることに注意する。

よって、(*3)は、(*1)の各元が(*2)によって生成されるベクトル空間に属することを意味する。

よって、(*1)によって生成されるベクトル空間は、(*2)によって生成されるベクトル空間の部分集合である。

同様に、(*2)によって生成されるベクトル空間は、(*1)によって生成されるベクトル空間の部分集合である。

よって、(*1)によって生成されるベクトル空間と、(*2)によって生成されるベクトル空間は一致する。

B8 ( 接空間の基底変換公式 )

M を m次元 C 級多様体とする。

(U;x、・・・、x)、(U;y、・・・、y)を、点 p∈M まわりのチャートとする。

TM の基底として、次の2組を考えることができる。(※A5とその後の参考)



このとき、次が成り立つ。

証明

既に B7 の証明の中で(*3)として示している。

参考

B8 の式は線形代数で紹介した基底変換公式と同じ形をしている。

これを確認するため、線形代数の基底変換公式と座標変換公式について復習しよう。

V を m次元ベクトル空間とする。

={e、・・・、e}、E={e’、・・・、e’} を V の基底とする。

P を E から E への基底変換行列とする。

v∈V とおく。

いま、v=a+・・・+a=b’+・・・+b’と表せる。

また、次が成り立つ。(※線形代数)



(*1)を 『 基底変換公式 』 という。

(*2)を 『 座標変換公式 』 という。

( 線形代数で注意したように、(*1)と(*2)は変換の仕方が逆になっていることに注意 )

一方、B8 の式を書き下すと、



( 右辺の m×n行列がヤコビ行列である )

(*1)と(*3)は同じ形をしていることが分かるであろう。