一般化されたストークスの定理

サイトのTOP→理系インデックス
ベクトル解析のTOP→ベクトル解析インデックス





定義 ( 境界 )

例えば、3次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界 ∂D は、領域 D の表面を意味する。

つまり、∂D は閉曲面である。

例えば、球体の境界は球である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、2次元の領域 D を考える。

この場合、D の境界∂D は D の周囲の曲線を意味する。

つまり、∂D は閉曲線である。

例えば、2次元の円板の境界は円である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、1次元の領域 I を考える。( つまり数直線の区間である )

この場合、I の境界 ∂I は、区間の両端を意味する。

つまり、∂I は2つの点である。

例えば、1次元の区間 (a、b) の境界は点 a と点 b である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、曲面 S を考える。

この場合、S の境界 ∂S は、閉曲線を意味する。

例えば、茶碗型の曲面の境界は、円である。( つまり、茶碗の縁に相当する )

境界の厳密な定義は、距離空間論や位相空間論などで与えられる。

ただし、以下の議論では上に書いた内容だけで十分である。

Z10 ( 一般化されたストークスの定理 )

ωを滑らかな n 変数(k−1)形式とする。

C を 内の k 次元図形とする。

∂C を C の境界とする。

このとき、∫dω=∫∂Cωである。

補足

ただし、dωはωの外微分である。

証明

これの証明には割と多くの準備が必要なので省略する。

このページでは、この定理がいかに強力であるかを説明することに重点を置こう。

Z11 ( ガウスの発散定理 )

D を の領域とする。

∂D を D の境界とする。( つまり S は曲面である )

∂D は区分的に滑らかであるとする。

n を S の法ベクトル場とする。

F:D を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

証明

証明は省略する。

Z12 ( ストークスの定理 )

S を 内の曲面とする。

∂S を S の境界とする。

∂S は区分的に滑らかであるとする。

F:D→ を滑らかなベクトル場とする。

ただし、D は S を含む領域である。

n を S の法ベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

むろん、上式の右辺は 『 接線線積分 』 である。

補足

ただし、∂S と n の向きは下図のようであるとする。

証明

省略する。

Z13 ( グリーンの定理 )

φ、ψ:I→ を滑らかな関数とする。

つねに、ψ(x)>φ(x)であるとする。

D={(x、y)|φ(x)≦y≦ψ(x)}とおく。

∂D を D の境界とする。

f、g:D を滑らかな関数とする。

ただし、D は D を含む領域である。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)は 『 微分積分学の基本定理 』 の2次元への拡張である。

(2)は 『 グリーンの公式 』 と呼ばれる。

証明

証明は省略する。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その1 )

一般化されたストークスの定理は微分積分学の基本定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=1、k=1 の場合を考える。

つまり、ωは 0-形式であって、関数である。

そこで、ω を f(x) と表す。

その外微分は (df/dx)dx である。

また、C は区間 [a、b] を意味する。

また、∂C は a と b である。

以上により、∫[a、b](df/dx)dx=f(b)−f(a)である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その2 )

C を平面上の曲線とする。

Γの始点を P とし、終点を Q とする。

f(x、y)を2変数関数とする。

このとき、∫df=f(Q)−f(P)である。

証明

Z10 において k=1、n=2 とする。

いま、ωは2変数関数である。

そこで、ω を f(x、y) と表す。

その外微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy である。

また、C は1次元曲線である。

また、∂C は P と Q である。

以上により、∫df=f(Q)−f(P)である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その3 )

一般化されたストークスの定理は、グリーンの公式を含んでいる。

証明

Z10 において n=2、k=2 とする。

いま、ω=f(x、y)dx+g(x、y)dy と表せる。

その外微分は、(−∂f/∂y+∂g/∂x)dx∧dy である。

以上により、∫(−∂f/dy+∂g/∂x)dx∧dy=∫∂C fdx+gdy である。

いま、C は平面上の領域である。

そこで、上式の左辺は2乗積分の形で表せる。

すると、∬(−∂f/∂y+∂g/∂x)dxdy=∫∂C fdx+gdy である。

これはグリーンの公式である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その4 )

一般化されたストークスの定理は、元のストークスの定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=3、k=2 とする。

いま、ω=f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz と表せる。

また、dω=(∂h/∂y−∂g/∂z)dy∧dz+(∂f/∂z−∂h/∂x)dz∧dx+(∂g/∂x−∂f/∂y)dx∧dy である。

F=(f、g、h)とおく。

すると、∫rotF・ndS=∫∂CF・dr である。(※Z9、定義:2変数1-形式の積分)

これは Z12 である。

参考 ( ストークスの定理の威力〜その5 )

一般化されたストークスの定理は、ガウスの発散定理を含んでいる。

証明

Z10 において n=3、k=3 とする。

いま、ω=f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy と表せる。

その外微分は dω=(∂f/∂x+∂g/∂y+∂h/∂z)dx∧dy∧dz である。

F=(f、g、h)とおく。

いま、上式の右辺は divF と表せる。

よって、∫divFdxdydz=∫∂CF・ndS である。(※Z9)