回転行列(座標の回転、ベクトルの回転)

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参考 ( 回転行列〜座標の回転ver )

次のようなベクトルを考える。



ここで、座標系をθ回転させる。



いま、次が成り立つ。



これは次のように表せる。



上記の 2×2 行列を 『 回転行列〜その1 』 と呼ぶことにする。

参考 ( 回転行列〜ベクトルの回転ver )

次のようなベクトルを考える。



ここで、ベクトル v をθ回転させる。

回転後のベクトルを v’と表す。



むろん、|v|=|v’|である。

明らかに、次が成り立つ。



つまり、



上記の 2×2 行列を 『 回転行列〜その2 』 と呼ぶことにする。

参考

回転行列〜その1、〜その2 を掛けてみると、



このように、単位行列となる。

たしかに、座標をθ回転させ、ベクトルをθ回転させれば、ベクトルの成分は元に戻るであろう。

これは直交行列の性質(AA=I)としても知られている。

今回の内容は 『 中学校の平面幾何 』 と 『 行列 』 が見事に共演している。

とくに、回転行列〜その2 はよく登場する。

つまり、座標を固定させて、点のみを回転させる行列である。

この行列は、覚えておくと何かと便利である。

これは 「 右上に −sinθ 」 と覚えればよい。

残りの成分はすべて + であり、cos と sin は交互に並んでいるから、残りは自動的に埋まる。