完全性(有限ver)

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A11 ( 有限次元の完全性 )

V を K 上の有限次元内積空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。(※シュミットの正規直交化)

v∈V とおく。

このとき、次が成り立つ。



これを 『 E による v の展開 』 という。

補足

これを正規直交基底の 『 完全性 』 という。

証明

いま、v=a+・・・+a と表せる。

よって、(v、e)=(a+・・・+a、e)=a である。

よって、定理の式が得られた。

参考 ( 座標の意味 )

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。

v=a+・・・+a と表したとき、(a、・・・、a)を 『 座標 』 という。

( これを 『 成分 』 と呼ぶ書物もある )

よって、完全性とは、v の参考書が ((e、v )、・・・、(e、v)) であることを意味する。

参考 ( 完全性は高校生も知っている )

実は、完全性は高校のベクトルでも扱っているはずである。

いま、平面に位置ベクトル v=(2、3) を考える。

の自然基底は、{(1、0)、(0、1)}である。

そこで、『 v と(1、0)の内積 』 と 『 v と(0、1)の内積 』 を考えてみよう。

そうすれば、いま上で述べたように、v の座標が出るはずである。

実際に計算してみると、(2、3)・(1、0)=2、(2、3)・(0、1)=3 である。

たしかに、v の座標と一致する。

参考 ( 内積の計算〜その1 )

x、y∈ とおく。

{ e、・・・、e } を の正規直交基底とする。

いま、x=x+・・・+x、y=y+・・・+y と表せる。

よって、(x、y)=x+・・・+x と計算できる。

参考 ( 内積の計算〜その2 )

x、y∈ とおく。

{ e、・・・、e } を の正規直交基底とする。

いま、x=x+・・・+x、y=y+・・・+y と表せる。

よって、(x、y)=x+・・・+x と計算できる。(※A3)

参考 ( 内積の計算〜その3 )

V を n 次元実内積空間とする。

{ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。(※シュミットの正規直交化)

x、y∈V とおく。

いま、x=(x、e)e+・・・+(x、e)e と表せる。(※A11)

また、y=(y、e)e+・・・+(y、e)e と表せる。(※A11)

よって、(x、y)=αβ+・・・+αβ ( α=(x、e)、β=(y、e) ) と計算できる。

参考 ( 内積の計算〜その4 )

V を n 次元複素内積空間とする。

{ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。(※シュミットの正規直交化)

x、y∈V とおく。

いま、x=(x、e)e+・・・+(x、e)e と表せる。(※A11)

また、y=(y、e)e+・・・+(y、e)e と表せる。(※A11)

よって、(x、y)=αβ+・・・+αβ ( α=(x、e)、β=(y、e) ) と計算できる。(※A3)