ワインガルテン写像(W(v)・vは加速度ベクトルの法成分)

サイトのTOP→理系インデックス
初等微分幾何のTOP→初等微分幾何インデックス





C6

S を 内の曲面とする。

N:S→2n を S の向きとする。

( つまり、N は S 上の連続な単位法ベクトル場である )

v∈TS とおく。

このとき、∇N∈TS である。

証明

いま、N・N=1である。

よって、∇(N・N)=0 である。

一方、∇(N・N)=(∇N)・N(p)+N(p)・(∇N)=2N(p)・∇N である。(※C4)

よって、N(p)・∇N=0 である。

よって、N(p)と ∇N は垂直である。

よって、∇N∈TS である。

定義 ( ワインガルテン写像 )

S を 内の曲面とする。

N:S→2n を S の向きとする。

v∈TS とおく。

:TS→TS を W(v)=−∇N で定義する。(※C6)

このとき、W を 『 点 p における S のワインガルテン写像 』 という。

明らかに、W は線形写像である。(※C1)

ワインガルテン写像を 『 形作用素 』 と呼ぶ書物もある。

表記の都合上、W(v)を Wv と表すこともある。

また、W を W と表すこともある。

参考

定義(ワインガルテン写像)の状況を引き継ぐ。

いま、∇N=(N*Γ)’(0)である。(※定義:ベクトル場の方向微分〜その2)

つまり、W は、曲線Γに沿って点 p を通過したときの N の変化率を意味する。

N の大きさは1で一定であるから、これは N の旋回率と解釈できる。

直観的に言えば、∇N は N が倒れる方向を意味する。

つまり、W は点 p における M の曲がり具合を測定している。

参考 ( 具体例 )

S を 内の平面とする。

v∈TS とおく。

N を S の向きとする。

いま、∇N=0 である。

よって、Wv=0 である。

これは平面が曲がっていないことを意味する。

参考 ( 具体例 )

S を 内の半径 a の球面とする。

v∈TS とおく。

N を S の向きとする。

明らかに、N=(1/a)1≦i≦3 である。

よって、∇N=(1/a)v である。(※C3、C1)

よって、Wv=−(1/a)v である。

C7 ( W(v)・v は加速度ベクトルの法成分 )

S を 内の曲面とする。

N:S→2n を S の向きとする。

Γ:I→S を曲線とする。

このとき、(WΓ’)・Γ’=Γ’’・NΓ である。

つまり、v∈TS として、Γ’(0)=v とすると、W(v)・v=Γ’’(0)・N(p)である。

補足

つまり、Γ とΓ が点 p において同じ速度をもつならば、Γ’’(0)・N(p)=Γ’’(0)・N(p)である。



つまり、W(v)・v は 『 速度 v で点 p を通過する S 上の曲線 』 の加速度ベクトルの法成分である。

しかも、これは曲線に依存しない。

補足

N(p)を N と略記する習慣もある。

よって、NΓ はN(Γ)の略記、つまり N(Γ(t))の略記である。

あるいは、N*Γの略記であると考えてもよい。

証明

いま、Γは S 上の曲線である。

よって、Γ’は S に接する。(※定義:接ベクトル)

よって、Γ’・NΓ=0 である。

両辺を微分すると、Γ’’・NΓ+Γ’・(NΓ)’=0 である。

一方、WΓ’=−∇Γ=−(NΓ)’である。(※定義:ベクトル場の方向微分〜その2)

よって、(WΓ’)・Γ’=Γ’’・NΓ である。

別証明 ( 表記を変えただけである )

いま、Γは S 上の曲線である。

よって、Γ’は S に接する。(※定義:接ベクトル)

よって、Γ’・(N*Γ)=0 である。

両辺を微分すると、Γ’’・(N*Γ)+Γ’・(N*Γ)’=0 である。

一方、W(Γ’)=−∇N=−(N*Γ)’である。(※定義:ベクトル場の方向微分〜その2)

よって、W(Γ’)Γ’=Γ’’・(N*Γ)である。

参考

C7 とその補足は非常に重要である。

これは後で何度も引用するので、ぜひ頭に入れておきたい。