ベクトル解析の基本(grad、div、rot、ベクトル積)

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注意 ( ベクトルの表記 )

a∈ とおく。

このとき、次の2通りに表せる。



前者を 『 行ベクトル 』 という。

後者を 『 列ベクトル 』 という。

スペースの都合上、列ベクトルを a=(a、・・・、a)と表すこともある。

行ベクトル、列ベクトルに本質的な違いはない。

定義 ( 内積 )

x、y∈ とおく。

x=(x、x、x)、y=(y、y、y)とおく。

x・y=x+x+x と定義する。

このとき、x・y を 『 x と y の内積 』 という。

定義 ( ベクトル積 )

x、y∈ とおく。

x=(x、x、x)、y=(y、y、y)とおく。

次のように定義する。



このとき、x×y を 『 x と y のベクトル積 』 という。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)とする。

いま、形式的に次のように表せる。



実際、(*)を第3列について余因子展開すると、



これは定義の式と一致する。

、x、x、y、y、y は実数だが、e、e、e はベクトルである。

なので、(*)は本来の行列式とは異なる。

だから、上では 「 形式的に 」 という表現を用いたのである。

Z1

x、y、z∈ とおく。

このとき、(x×y)・z=det(x、y、z)である。

補足

det(x、y、z)は、x、y、z の成分を書き並べた3×3行列の行列式を意味する。

証明

次のように計算できる。(※余因子展開)

Z2

x、y∈ とおく。

このとき、(x×y)・x=0、(x×y)・y=0 である。

補足

つまり、x×y は、x と y の両方と直交する。

証明

同じ列(または行)をもつ行列式は 0 になる。(※線形代数)

よって、成り立つ。(※Z1)

Z3

x、y∈ とおく。

θを、x と y の交角とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x・y=|x||y|cosθ

(2) x×y=|x||y|sinθ

補足

(1)は高校数学でよく知られているであろう。

(2)は 「 外積 x×y の大きさは、x と y を辺とする平行四辺形の面積に等しい 」 を意味する。

(1)の証明

x=(x、x、x)、y=(y、y、y)とおく。

いま、|x|+|y|−|x−y|=2|x|・|y|cosθである。(※余弦定理)

また、|x|=|x+|x+|x である。

また、|y|=|y+|y+|y である。

また、|x−y|=(x−y+(x−y+(x−y である。

よって、x・y=x+x+x =2−1(|x|+|y|−|x−y|)=|x|・|y|cosθである。

(2)の証明

いま、



また、



よって、|x×y|=|x||y|sinθである。

いま、0≦θ≦πである。

よって、sinθ≧0 である。

よって、|x×y|=|x||y|sinθである。

定義 ( スカラー場 )

A を の部分集合とする。

f:A→ を実数値関数とする。

このような関数を 『 n 次元スカラー場 』 という。

つまり、スカラー場は実数値関数を意味する。

定義 ( ベクトル場 )

A を の部分集合とする。

φ:A→ を写像とする。

このような写像を 『 n 次元ベクトル場 』 という。

つまり、ベクトル場とは、定義域と終域の次元が等しい多変数ベクトル値関数である。

定義 ( grad )

D を の開集合とする。

f:D→ をスカラー場とする。

次のように定義する。



このとき、gradf を 『 f の勾配 』 という。

詳しく書くと、

gradf:D→ であることに注意しよう。

つまり、gradf はベクトル場である。

定義 ( div )

D を の開集合とする。

φ:D→ をベクトル場とする。

φ=(φ、φ、φ)とおく。(★)

次のように定義する。



このとき、divφを 『 φの発散 』 という。

(★)について補足

詳しく書くと、φ(x、y、z)=(φ(x、y、z)、φ(x、y、z)、φ(x、y、z))である。

つまり、各φ は3変数実数値関数である。

divφ:D→ であることに注意しよう。

つまり、divφは実数値関数である。

定義 ( rot )

D を の開集合とする。

φ:D→ をベクトル場とする。

φ=(φ、φ、φ)とおく。

次のように定義する。



このとき、rotφを 『 φの回転 』 という。

rotφ:D→ であることに注意しよう。

つまり、rotφはベクトル場である。