「ガウスの定理」の証明(四面体ver)

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参考 ( ガウスの発散定理〜一般ver )

V を の領域とする。

N を ∂V の外向き法線ベクトル場とする。

F:V→ をベクトル場とする。

このとき、次が成り立つ。

Z12 ( ガウスの発散定理〜四面体ver )

V を四面体とする。

N を、V の外向き法線ベクトル場とする。

F:V→ をベクトル場とする。

F(x、y、z)の各成分は1次式であるとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

P、Q、R、S を四面体の頂点とする。

P=(x、y、z)、Q=(x、y、z)、R=(x、y、z)、S=(x、y、z)∈ とおく。

=(x−x、y−y、z−z)×(x−x、y−y、z−z)とおく。

=−(x−x、y−y、z−z)×(x−x、y−y、z−z)とおく。

=(x−x、y−y、z−z)×(x−x、y−y、z−z)とおく。

=−(x−x、y−y、z−z)×(x−x、y−y、z−z)とおく。

ここで、N は△PQR において外向き法線ベクトルになっているとする。

つまり、N・(x−x、y−y、z−z)<0 であるとする。

いま、次が成り立つ。(※Z1)



よって、



よって、



つまり、N は △QRS における外向き法線ベクトルである。

同様に、N は △RSP における外向き法線ベクトルである。

同様に、N は △SPQ における外向き法線ベクトルである。

N を四面体 PQRS 上の単位法ベクトル場とする。

いま、例えば、△PQR上では N=N/|| N || である。

よって、次のように計算できる。(※Z10)



同様に、



よって、



( ただし、∂PQRS は四面体 PQRS の境界であるとする。つまり、∂PQRSは面である )

また、次が成り立つ。(※Z10)



同様に、



よって、次が成り立つ。(※S3)



ただし、最後の VPQRS は四面体の体積を意味する。

既に示したように、右辺の行列式は負なので、−1/6 を掛けると正である。

また、上式の計算において、xe・N を ye・N や ze・N に入れ替えると、



ここまでの内容をまとめると、

(*1) ∬∂PQRSxe・NdS=VPQRS

(*2) ∬∂PQRSye・NdS=0

(*3) ∬∂PQRSze・NdS=0

同様の議論によって次が示される。

(*4) ∬∂PQRSxe・NdS=0

(*5) ∬∂PQRSye・NdS=VPQRS

(*6) ∬∂PQRSze・NdS=0

(*7) ∬∂PQRSxe・NdS=0

(*8) ∬∂PQRSye・NdS=0

(*9) ∬∂PQRSze・NdS=VPQRS

以上により、定理の式が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここでは F=(2x、3y、x+y) の場合について確認してみよう。

いま、



一方、divF=2+3=5 である。

よって、