「曲面積」の計算(絵具のパラドクス)

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定義 ( C級〜実数値関数 )

D を の開集合とする。

f:D→ を関数とする。

偏導関数 f、f が存在して、f、f、f が D 上で連続であるとする。

このとき、「 f は C 級である 」 という。

定義 ( C級〜ベクトル値関数 )

D を の開集合とする。

φ:D→ を関数とする。

いま、φ=(x、y、z)と表せる。(★)

x、y、z は C級であるとする。

このとき、「 φは C 級である 」 という。

(★)について補足

詳しく書けば、φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))である。

つまり、x、y、z:D→ である。

定義 ( 正則曲面 )

D を の領域とする。

φ:D→ を単射な C級関数とする。

いま、φ=(x、y、z)と表せる。

任意の点 (u、v)∈D に対し、次の2つのベクトルは1次独立であるとする。

(*1) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))

(*2) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))

このとき、φを 『 正則曲面 』 という。

Z7 ( グラフ曲面は正則曲面である )

D を の領域とする。

f:D→ を C 級関数とする。

φ:D→ をφ(u、v)=(u、v、f(u、v))で定義する。(★)

このとき、φは正則曲面である。

補足

(★)を 『 グラフ曲面 』 という。

証明

いま、φ(u、v)=(1、0、f(u、v))である。

また、φ(u、v)=(0、1、f(u、v))である。

よって、φ(u、v) と φ(u、v) は1次独立である。

よって、φは正則曲面である。

注意

以下、正則曲面を、単に 『 曲面 』 と呼ぶ。

定義 ( 曲面積 )

D を の領域とする。

K を D の有界閉集合とする。

φ:D→ を曲面とする。

次のように定義する。



このとき、S[φ(K)] を 『 φ(K)の表面積 』 という。

|φ(u、v)×φ(u、v)|は、φ(u、v) と φ(u、v) が構成する平行四辺形の面積である。(※Z3)

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

(u、v)∈D とおく。

Δu、Δv を十分に小として、(u+Δu、v)、(u、v+Δv)∈D とする。

いま、φ(u、v)、φ(u+Δu、v)、φ(u、v+Δv)∈ である。

その面積は次の2つのベクトルの外積である。

(*1) (x(u+Δu、v)−x(u、v)、y(u+Δu、v)−y(u、v)、z(u+Δu、v)−z(u、v))

(*2) (x(u、v+Δv)−x(u、v)、y(u、v+Δv)−y(u、v)、z(u、v+Δv)−z(u、v))

2変数のテイラー展開より、(*1)と(*2)は、次のように近似できる。

(*3) (x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))Δu

(*4) (x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))Δv

参考 ( 球の表面積 )

定義(曲面積)に基づいて、球の表面積を計算できる。

証明

D=[0、π]×[0、2π] とおく。

p(θ、φ)=(rsinθcosφ、rsinθsinφ、rcosθ) とおく。

いま、p は半径 r の球のパラメータ表示である。

また、∂p/∂θ=(rcosθcosφ、rcosθsinφ、−rsinθ)である。

また、∂p/∂φ=(−rsinθsinφ、rsinθcosφ、0)である。

よって、∂p/∂θ×∂p/∂φ=(rsinθcosφ、rsinθsinφ、rsinθcosφ)である。

よって、|∂p/∂θ×∂p/∂φ|=rsinθである。

よって、

Z8 ( グラフ曲面の表面積 )

D を の領域とする。

f:D→ を C 級関数とする。

K を D に含まれる有界閉集合とする。

φ:K→ をφ(u、v)=(u、v、f(u、v))で定義する。

このとき、

補足

上の定義では 「 K は有界閉集合である 」 としたが、開集合でもよい。

ただし、開集合の場合、有界閉集合で近似することになる。

証明

次のように計算できる。



よって、|φ(u、v)×φ(u、v)|=f(u、v)+f(u、v)+1である。

Z9 ( 回転体の表面積 )

f:[a、b]→ を C 級関数とする。

f を x 軸を中心に回転させた図形を考える。

この図形の表面積 S は、次のように表される。

証明

φ(x、y)=(f(x)−y1/2 とおく。

D={(x、y)∈D|a≦x≦b、−|f(x)|≦y≦|f(x)|} とおく。

すると、S=2S[φ(D)]である。(★)

よって、Z8 より、

(★)について補足

つまり、S[φ(D)] は S の片側の表面積を意味する。

図示すると、



参考 ( 絵具のパラドクス )

f(x)=1/x (x≧1) とおく。

これを x 軸まわりに回転させれば、ラッパ状の図形が構成される。

V をこの図形の体積とする。

S をこの図形の表面積とする。

いま、次が成り立つ。(※Z9)





よって、limb→∞=π、limb→∞=∞ である。

つまり、この図形の体積は有限で、表面積は無限である。

体積は有限であるから、この曲面を有限量の塗料で塗り尽くすことができる。

( 実際、この図形の中身を塗料で満たせばよい )

しかし、表面積は無限であるから、この曲面を塗り尽くすには無限量の塗料が必要である。

よって、「 有限=無限 」 である。