「面積分」の計算

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定義 ( 法ベクトル場〜曲面 )

S を 内の曲面とする。

N:S→ をベクトル場とする。

各ベクトル N(x、y、z) は曲面 S に垂直であるとする。

このとき、N を 『 S の法ベクトル場 』 という。

とくに、各ベクトル N(x、y、z) が単位ベクトルであるとき、『 単位法ベクトル場 』 という。

定義 ( 接ベクトル場〜曲面 )

S を 内の曲面とする。

T:S→ をベクトル場とする。

各ベクトル T(x、y、z) は曲面 S に接しているとする。

このとき、T を 『 S の接ベクトル場 』 という。

とくに、各ベクトル N(x、y、z) が単位ベクトルであるとき、『 単位接ベクトル場 』 という。

定義 ( 法ベクトル場〜曲線 )

C を 内の曲面とする。

N:C→ をベクトル場とする。

各ベクトル N(x、y、z) は曲線 C に垂直であるとする。

このとき、N を 『 C の法ベクトル場 』 という。

定義 ( 接ベクトル場〜曲線 )

C を 内の曲面とする。

T:C→ をベクトル場とする。

各ベクトル T(x、y、z) は曲面 C に接しているとする。

このとき、T を 『 C の接ベクトル場 』 という。

参考

明らかに、曲線に対する法ベクトル場は一意に定まらない。(曲線に対する接ベクトル場は一意である)

よって、本当は、曲線に対する法ベクトル場を定義するときにはベクトルの向きを考慮する必要がある。

しかし、以下の議論では扱わないので省略する。

定義 ( 面積分 )

D を の領域とする。

φ:D→ を曲面とする。

K を D に含まれる有界閉集合とする。

S=φ(K)とおく。

f:S→ を連続関数とする。

N:S→ を S の外向き単位法ベクトル場とする。

いま、N=(N、N、N)と表せる。

次のように定義する。



また、次のように定義する。

注意 ( 変数変換公式 )

、D の領域とする。

φ:D→D を全単射とする。

φ=(x、y)とおく。

つまり、φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v))である。

φは C 級であるとする。

次のように記号を定義する。



この記号は 『 ヤコビアン 』 と呼ばれる。

このとき、次が成り立つ。

この定理は 『 変数変換公式 』 と呼ばれる。

ただし、その証明はかなり長くなる。

ここではこの定理を道具として扱うことを優先しよう。

とくに、x=rcosθ、y=rsinθとすると、dxdy=rdrdθとなることに注意。

これは 『 極座標変換 』 と呼ばれる。

Z10

P=(x、y、z)、Q=(x、y、z)、R=(x、y、z)∈ とおく。

v=|| PQ×PR ||−1PQ×PR とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、△PQR の面積は 2−1|| PQ×PR || である。

つまり、∬△PQRdS=2−1|| PQ×PR || である。

また、PQ×PR=(x−x、y−y、z−z)×(x−x、y−y、z−z)である。

よって、次のように計算できる。(※Z1)

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

(1)と同様である。

(4)の証明

次のようにおく。

(*1) φ(s、t)=x+(x−x)s+(x−x)t

(*2) φ(s、t)=y+(y−y)s+(y−y)t

(*3) φ(s、t)=z+(z−z)s+(z−z)t

K={ (s、t)∈|s+t≦1、s、t≧0 } とおく。

φ:K→ をφ(s、t)=(φ(s、y)、φ(s、y)、φ(s、y))で定義する。

いま、φ は △PQR のパラメータ表示である。

また、曲面φ上の関数 x(s、t) は、φ(s、t) を意味する。

よって、(1)より、

(5)の証明

(4)と同様である。

(6)の証明

(4)と同様である。