「曲線に沿う線積分」の計算

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定義 ( C級〜曲線 )

Γ を曲線とする。

Γは連続であるとする。

Γ’も連続であるとする。

このとき、「 Γ は C級である 」 という。

級を 『 連続微分可能 』 と呼ぶことも多い。

定義 ( 曲線に沿う線積分 )

D を の領域とする。

f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を C 級曲線とする。

いま、Γ=(Γ、Γ)と表せる。(★)

次のように定義する。



とくに、(*1)を 『 f の ( Γ に沿う ) x 方向に関する線積分 』 という。

また、(*2)を 『 f の ( Γ に沿う ) y 方向に関する線積分 』 という。

また、(*3)を 『 f の ( Γに沿う ) 線積分 』 という。

(★)について補足

詳しく書けば、Γ(t)=(Γ(t)、Γ(t))である。

つまり、Γ、Γ:[a、b]→ である。

参考

D を の領域とする。

、f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を C 級関数とする。

次のように表す。

Z4

P=(x、y)、Q=(x、y)、R=(x、y)∈ とおく。

f(x、y)=1とする。

このとき、次のように計算できる。

補足

∂△PQR は、三角形 PQR の周を反時計回りに回る閉曲線を意味する。

(1)の証明

∂△PQR を、次のようにパラメータ付ける。



いま、f(x、y)=1である。

よって、つねに f(Γ(t))=1 である。

よって、次のように計算できる。

(2)の証明

(1)と同様である。

Z5

P=(x、y)、Q=(x、y)、R=(x、y)∈ とおく。

f(x、y)=x とする。

このとき、次のように計算できる。

補足

S[△PQR] は三角形 PQR の面積を意味する。

(1)の証明

計算すると、

(2)の証明

計算すると、



よって、∫∂△PQRf(x、y)dy=S[△PQR] である。(※S2)

Z6

P=(x、y)、Q=(x、y)、R=(x、y)∈ とおく。

f(x、y)=y とする。

このとき、次のように計算できる。

(1)の証明

Z5(2)の計算において x と y が入れ替わるだけである。

(2)の証明

Z5(1)と同様である。