「ストークスの定理」の証明(三角形ver)

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参考 ( ストークスの定理〜一般ver )

Ω を の有界領域とする。

D を の領域とする。

Ω⊂D であるとする。

φ:D→ を C 級写像とする。

F(x、y、z) をベクトル場とする。

T:φ(∂Ω)→ を、φ(∂Ω) の接線ベクトル場とする。

N:φ(Ω)→ を、φ(Ω) の外向き法線ベクトル場とする。

このとき、

Z11 ( ストークスの定理〜3角形ver )

P=(x、y、z)、Q=(x、y、z)、R=(x、y、z)∈ とおく。

F(x、y、z)をベクトル場とする。

ただし、F の各成分は1次式で表されるとする。

T:∂△PQR→ を、∂△PQR の接線ベクトル場とする。

N:△PQR→ を、△PQR の外向き法線ベクトル場とする。

このとき、

証明

Γ(t)=(1−t)x+x とおく。

Γ(t)=(1−t)y+y とおく。

Γ(t)=(1−t)z+z とおく。

Γ(t)=(Γ(t)、Γ(t)、Γ(t))とおく。

いま、Γは線分 PQ のパラメータである。

また、Γ’(t)=(Γ’(t)、Γ’(t)、Γ’(t))=(x−x、y−y、z−z)である。

よって、



また、



また、定義(曲線に沿う線積分)より、



よって、



よって、







同様に、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、F(x、y、z)=(F(x、y、z)、F(x、y、z)、F(x、y、z))はベクトル場である。

(x、y、z)=y、F(x、y、z)=0、F(x、y、z)=0 の場合を考える。

( 一般の場合も、ここから簡単に推測できるであろう )

∂ΔPQR上では、F(x(t)、y(t)、z(t))=Γ(t)、F(x(t)、y(t)、z(t))=0、F(x(t)、y(t)、z(t))=0 である。

よって、



一方、



よって、Z10 より、



(*1)、(*2)より、定理の式が示された。