基底変換行列〜その1(双対基底の変換)

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Z20 ( Vの基底を双対基底にするような V の基底が唯1つ存在する )

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

{ψ、・・・、ψ}を V の基底とする。

このとき、V の基底 { f、・・・、f } が存在して、ψ(f)=δij となる。

しかも、このような { f、・・・、f } は一意的に定まる。

証明

一意性は既に示した。(※Z4)

{φ、・・・、φ}を E の双対基底とする。

P=(Pij)を {φ、・・・、φ} から {ψ、・・・、ψ} への基底変換行列とする。

つまり、次が成り立つ。(※線形代数参照)



ここで、次のようにおく。



ただし、(P−1st は行列 P−1 の(s、t)成分である。

いま、{ f } は V の基底である。

( 基底変換行列の逆行列が基底変換行列であることは線形代数で扱った )

しかも、次が成り立つ。

Z21 ( 双対基底の変換則 )

E={ e、・・・、e }、F={ e’、・・・、e’ } を V の基底とする。

{φ、・・・、φ } を E の双対基底とする。

{φ’、・・・、φ’ } を F の双対基底とする。

P=(Pij)を E から F への基底変換行列とする。

v∈V を2つの基底によって次のように表す。

v=a+・・・+a=be’+・・・+be’

ζ∈V を2つの基底によって次のように表す。

ζ=cφ+・・・+cφ=dφ’+・・・+dφ’

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)を 『 V の基底変換公式 』 という。

(2)を 『 V の座標変換公式 』 という。

(3)を 『 Vの基底変換公式 』 という。

(4)を 『 Vの座標変換公式 』 という。

(1)の証明

線形代数参照。

(2)の証明

線形代数参照。

(3)の証明

φ’(v)=b である。(※定義:双対基底)

よって、

(4)の証明

いま、ζ=cφ+・・・+cφ=dφ’+・・・+dφ’ である。

ここに(3)の式を代入すると、



式変形すると、



よって、

参考 ( 反変ベクトル、共変ベクトル )

Z21の(2)と(4)に注目しよう。

V において、座標変換は、基底の変換 E→F と逆向きである。

なので、V に属するベクトル を 『 反変ベクトル 』 という。

において、座標変換は、基底の変換 E→F と同じ向きである。

なので、V に属するベクトルを 『 共変ベクトル 』 という。