基底変換行列〜その2(テンソル空間の座標変換)

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Z22 ( p階反変テンソルの座標変換 )

定義(テンソル積〜その2)を採用する。

(V)を p階反変テンソル空間とする。

E={ e、・・・、e }、F={ e’、・・・、e’ } を V の基底とする。

{φ、・・・、φ}を E の双対基底とする。

{φ’、・・・、φ’}を F の双対基底とする。

いま、次の集合(*)は T(V)の基底である。(※Z10)

(*) { ei1○・・・○eip|ei1、・・・、eip∈E }

任意の T∈T(V)は次のように表される。



また、次が成り立つ。

(1)、(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

P を E から F への基底変換行列とする。

いま、P−1は F から E への基底変換行列である。(※線形代数参照)

よって、次が成り立つ。(※Z21)



よって、

Z23 ( p階共変テンソルの座標変換 )

定義(テンソル積〜その2)を採用する。

(V)を p階共変テンソル空間とする。

いま、V** と V を同一視できる。(※Z5)

よって、T(V)の元は V=V×・・・×V 上の p重線形写像と見なしてよい。

E={ e、・・・、e }、F={ e’、・・・、e’ } を V の基底とする。

={φ、・・・、φ}を E の双対基底とする。

={φ’、・・・、φ’}を F の双対基底とする。

いま、次の集合(*)は T(V)の基底である。(※Z10)

(*) { φi1○・・・○φip|φi1、・・・、φip∈E

任意の T∈T(V)は次のように表される。



また、次が成り立つ。

(1)、(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

Z21(1)より、



よって、

Z24 ( 混合テンソル空間の座標変換 )

定義(テンソル積〜その2)を採用する。

(V)を p階反変 q階共変テンソル空間とする。

E={ e、・・・、e }、F={ e’、・・・、e’ } を V の基底とする。

={φ、・・・、φ}を E の双対基底とする。

={φ’、・・・、φ’}を F の双対基底とする。

いま、次の集合(*)は T(V)の基底である。(※Z10)

(*) { ei1○・・・○eip○φj1○・・・○φiq|ei1、・・・、eip∈E、φj1、・・・、φiq∈E

任意の T∈T(V)は次のように表される。



また、次が成り立つ。

(1)、(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。(※Z22、Z23)