基本テンソル

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定義 ( 基本テンソル )

g:V×V→ を g(v、w)=v・w で定義する。

このとき、g を 『 基本計量テンソル 』 あるいは 『 基本テンソル 』 という。

つまり、内積は2階共変テンソルと見なせる。

これは微分幾何学の第1基本形式に相当する。

あるいは、リーマン幾何のリーマン計量に相当する。

g という記号を用いることは伝統である。

むろん、g(v、v)=|v| である。

つまり、基本テンソルは、ベクトルの長さを含む。

定義 ( 基本テンソルの成分 )

g:V×V→ を基本テンソルとする。

ij=g(e、e)とおく。

このとき、gij を 『 g の成分 』 という。

むろん、{ e、e、e } が直交基底ならば、gij=δij である。

定義 ( 正定値 )

φ:V×V→ を双線形写像とする。

次が成り立つとする。

(*1) 任意の v に対して g(v、v)≧0 である。

(*2) 等号が成り立つのは、v=0 の場合に限る。

このとき、「 φ は正定値である 」 という。

Z23

g:V×V→ を基本テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) g は対称である。

(2) g は正定値である。

補足

つまり、内積は 『 対称かつ正定値な2階共変テンソル 』 である。

ちなみに、リーマン幾何学では、これを出発点として議論する。

つまり、対称かつ正定値な2階共テンソルが存在すると仮定し、これを出発点とする。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

参考

任意の実対称行列は対角化可能である。

詳しい証明は固有値問題インデックスで扱っている。

この定理は以下の証明で用いる。

Z24 ( Z23の逆 )

E を V の基底とする。

g:V×V→ を E に関する2階共変テンソルとする。

次が成り立つとする。

(*1) g は対称である。

(*2) g は正定値である。

このとき、ある基底 F が存在して、g の F に関する成分は g’ab=δab となる。

つまり、g’は基本テンソルである。

補足

つまり、F は直交基底である。

むろん、E が直交基底である必要はない。

証明

(e、e、e)=(e’’、e’’、e’’)B を基底変換とする。

いま、e=B’’である。

よって、gij=g(e、e)=g(Be’’、Be’’)=Bg(e’’、e’’)である。

ここで、g’’pq=g(e’’、e’’)とおく。

すると、g’’pqij である。

よって、(g’’pq)=(B−1)(gij)B−1 である。(★)

よって、(*1)より、行列 B を選べば、(g’’pq)が対角行列となる。

つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈V とおく。

v=(v’’)と表せる。

いま、g(v、v)=g’’pqv’’v’’=λ(v’’+λ(v’’+λ(v’’ である。

よって、(*2)より、λ>0、λ>0、λ>0 である。

そこで、次のようにおく。



いま、



(e’、e’、e’)=(e’’、e’’、e’’)C とおく。

g’ij=g(e、e)とおく。

(★)と同様に、

Z25

g:V×V→ を基本テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (gij)は正則である。

(2) (gij)=(gij−1 は2階反変テンソルである。

とくに、(gij)を 『 基本テンソルの反変成分 』 という。

(1)の証明

Z24 の証明において、g’’pq は正則である。

よって、(gij)も正則である。

(2)の証明

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

(gij) を { e、e、e } に関する g の成分とする。

(g’ij) を { e’、e’、e’ } に関する g の成分とする。

(gij)=(gij−1、(g’ij)=(g’ij−1 とおく。

いま、gijjk=δ、g’abg’bc=δ である。

また、(δ)は(1、1)テンソルである。(※Z19)

よって、g’abg’bc=Aδ=Aijjk である。(※普通に式変形するだけ)

一方、g’bcjk である。(※Z14)

よって、g’abjk=Aijjk である。

よって、g’ab=Aij である。

よって、g’ab=Aij である。

これは2階反変テンソルの座標変換公式である。

つまり、(gij)は2階反変テンソルを構成する。(※Z18)