混合テンソル

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定義 ( 1階反変1階共変テンソル )

P:V→V を線形変換とする。

このとき、P を 『 1階反変1階共変テンソル 』 という。

『 1階反変1階共変 』 の意味については下で説明する。

定義 ( 1階反変1階共変テンソルの成分 )

P:V→V を1階反変1階共変テンソル とする。

E={ e、e、e } を V の基底とする。

いま、P(e)、P(e)、P(e)∈V である。

よって、これらは E の1次結合として表される。

そこで、P(e)=P とおく。

このとき、P を 『 P の成分 』 という。

Z10 ( 1階反変1階共変テンソルの成分表示 )

P:V→V を1階反変1階共変テンソル とする。

E={ e、e、e } を V の基底とする。

を P の成分とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。

Z11 ( 1階反変1階共変テンソルの座標変換公式 )

P:V→V を1階反変1階共変テンソル とする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)P を基底変換とする。

を{ e、e、e } に関する P の成分とする。

P’ を{ e’、e’、e’ } に関する P の成分とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

これは反変ベクトルと共変ベクトルの座標変換公式を合わせた形である。(※Z2、Z5)

これが 『 1階反変1階共変 』 という名前の由来である。

証明

いま、P(e)=P である。

よって、P(Ae’)=Pe’ である。(※Z1)

よって、AP’e’=Pe’ である。

よって、AP’=P である。

ここで、上式の両辺に を掛ける。

すると、P’ である。

Z12 ( 1階反変1階共変テンソルは、双線形写像P(φ、v)と見なせる )

P:V→V を1階反変1階共変テンソル とする。

を P の成分とする。

P:V×V→ を P(φ、v)=φ(P(v))=P(v)(φ)と定義する。

明らかに、P(φ、v)は双線形写像である。

また、次が成り立つ。

証明

明らかに、P(φ、e)=φ(P(e))=P である。

Z13 ( 双線形写像P(φ、v)は1階反変1階共変テンソルと見なせる )

P:V×V→ を双線形写像とする。

v∈V とおく。

いま、P は共変ベクトルφを変数とする線形関数と見なせる。

つまり、P(φ、v)は、1つの反変ベクトルと見なせる。

この P(φ、v)は、P と v によって定まるから、P(v)と表してよい。

つまり、P(v)=P(φ、v)である。

ここで、固定していた v を動かす。

つまり、v に対して P(φ、v)が対応する。

つまり、P は、V から V への線形変換と見なせる。

つまり、P は、1階反変1階共変テンソルと見なせる。

証明

証明は定理の中に書いた。

定義 ( r階反変s階共変テンソル )

P:V×・・・×V×V×・・・×V→ を(r+s)重線形写像とする。

このとき、P を 『 r階反変s階共変テンソル 』 または 『(r、s)テンソル 』 という。

このように、反変性と共変性をもつテンソルを総称して 『 混合テンソル 』 という。

むろん、線形変換も混合テンソルである。

参考

上記の定義により、r階反変テンソルを 『(r、0)テンソル 』 と呼ぶことができる。

同様に、s階共変テンソルを 『(0、s)テンソル 』 と呼ぶことができる。

また、反変ベクトルは(1、0)ベクトルである。

また、共変ベクトルは(0、1)ベクトルである。

Z14 ( (r、s)テンソルの座標変換公式 )

T を(r、s)テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。



例えば、r=1、s=2 の場合は、

証明

Z7、Z9、Z11と同様である。

参考

ここまで色々な座標変換公式を見てきたが、すべては Z14 に集約される。

つまり、Z14 は、Z7、Z9、Z11 の一般化である。

しかし、つねに(r、s)テンソルで考えると、表記が面倒になってしまう。

そこで、基本的には(r、s)ではなくて、(1、2)テンソルを中心に議論することにしよう。

また、定理を引用するときには、Z7、Z9、Z11ではなく、すべて Z14 で引用する。