共変テンソル、反変テンソル

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定義 ( 2階共変テンソル )

V をベクトル空間とする。

T:V×V→ を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) T(v+w、u)=T(v、u)+T(w、u)

(2) T(kv、w)=kT(v、w)

(3) T(v、w+u)=T(v、w)+T(v、u)

(4) T(v、kw)=kT(v、w)

このとき、T を 『 双線形写像 』 という。

あるいは、これを 『 2階共変テンソル 』 と呼ぶ。

『 2階共変 』 という名前の由来については下で説明する。

『 テンソル 』 という用語も、現段階ではただの名前である。

これについては議論を進めていくうちに明らかになる。

定義 ( 2階共変テンソルの成分 )

T:V×V→ を2階共変テンソルとする。

ij=T(e、e)とおく。

この Tij を 『 T の成分 』 という。

Z6 ( 2階共変テンソルの成分表示 )

T:V×V→ を2階共変テンソルとする。

ij を T の成分とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかに、T(v、w)=T(v、w)=vT(e、e)=vij である。

注意

Z6 から分かるように、2階共変テンソル T は、Tij によって定まる。

そこで、T を次のように表す。



つまり、双線形写像と行列を同一視する。

もしかしたら、

「 同一視という考え方がよく分からない 」

・・・と思う人がいるかもしれない。

しかし、何も難しいことではない。

T が分かれば、Tij が分かる。

ij が分かれば、T が分かる。

それなら、双線形写像 T と行列 (Tij) を同じものと考えてよいだろう。

あるいは、T=(Tij)とおいて、双線形写像 T と行列 T を区別してもよい。

しかし、面倒なので、T を略記して、T と表していると考えればよい。

つまり、同じように T と書いているが、この2つの T は文脈から区別する。

Z7 ( 2階共変テンソルの座標変換公式 )

T:V×V→ を2階共変テンソルとする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

ij を { e、e、e } に関する T の成分とする。

T’ij を { e’、e’、e’ } に関する T の成分とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

上式は、共変ベクトルの座標変換公式を2重にした形である。(※Z5)

これが 『 2階共変 』 という名の由来である。

(1)の証明

Z1より、

(2)の証明

(1)の式を行列で表しただけである。

定義 ( 2階反変テンソル )

H:V×V を双線形写像とする。

このとき、H を 『 2階反変テンソル 』 という。

『 2階反変 』 という名前の由来については下で説明する。

定義 ( 2階反変テンソルの成分 )

H:V×V を2階反変テンソルとする。

E={ e、e、e } を V の基底とする。

{ φ、φ、φ } を E の双対基底とする。

ij=H(φ、φ)とおく。

この Hij を 『 Hの成分 』 という。

Z8 ( 2階反変テンソルの成分表示 )

H:V×V を2階反変テンソルとする。

ij を H の成分とする。

φ(e)=c、ψ(e)=d とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

いま、φ(v)=φ(v)=cφ(v)である。

つまり、φ=cφ である。

同様に、ψ=dφ である。

よって、定理の式が成り立つ。

Z9 ( 2階反変テンソルの座標変換公式 )

H:V×V を2階反変テンソルとする。

E={ e、e、e }、F={ e’、e’、e’ } を V の基底とする。

{φ、φ、φ}を E の双対基底とする。

{φ’、φ’、φ’ } を F の双対基底とする。

ij を{φ、φ、φ } に関する H の成分とする。

H’ij を{φ’、φ’、φ’}に関する H の成分とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

上式は反変ベクトルの座標変換公式を2重にした形である。(※Z2)

これが 『 2階反変 』 という名の由来である。

(1)の証明

次のように計算できる。<(※Z4)

(2)の証明

(1)を行列で表しただけである。