曲線座標系

サイトのTOP→理系インデックス
ベクトル解析のTOP→ベクトル解析インデックス





参考 ( 逆関数定理 )

(u)を曲線座標系とする。

D を領域とする。

u’(u、u、u)を D 上の関数とする。

関数行列式は 0 でないとする。

つまり、



このとき、u(u’、u’、u’)と表せる。

つまり、(u’、u’、u’)はもう1つの曲線座標系となる。

補足

つまり、関数行列式≠0 ならば、その関数は逆に解けるということである。

この事実は、1変数関数の場合に限れば、高校生も知っているであろう。

つまり、y(x)について y’(x)≠0 ならば、x(y)と表せる。

厳密に言えば、y’(x)≠0 となる点 x の近傍で x(y)と表せる。

証明

これは微分積分学で有名な定理である。

証明は長いので省略する。

まずは道具として扱えればよい。

定義 ( 座標変換 )

参考(逆関数定理)における u’(u、u、u)や u(u’、u’、u’)を 『 座標変換 』 という。

つまり、座標変換とは、関数行列式が 0 ではない多変数関数である。

定義 ( 自然基底 )

(u、u、u)を曲線座標系とする。

(x、x、x)を直交座標系とする。

この2つの変換式を x(u、u、u)と表す。

次のようにおく。



いま、(e、e、e)は1次独立である。(※定義:座標変換)

そこで、{e、e、e}を 『 自然基底 』 という。

むろん、自然基底は位置 P によって変化する。

よって、より正確には、e(P)、e(P)、e(P)と表す。

定義 ( 曲線座標系に関する座標 )

v を、点 P を始点とするベクトルとする。

(e(P)、e(P)、e(P))を、点 P における(u)の自然基底とする。

いま、v=v+v+v と表せる。

(v)=(v、v、v)を 『 v の(u)に関する座標 』 という。

Z27

(u’、u’、u’)を座標変換とする。

(e(P)、e(P)、e(P))を、(u)の自然基底とする。

(e’(P)、e’(P)、e’(P))を、(u’)の自然基底とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、



よって、定理の式が成り立つ。(※定義:自然基底)

(2)の証明

(1)と同様である。

Z28

(u’、u’、u’)を座標変換とする。

(v)を(u)に関する座標とする。

(v’)を(u’)に関する座標とする。

つまり、v=v=v’e’ である。

このとき、次が成り立つ。

補足

次のようにおく。



すると、定理の式は反変ベクトルの座標変換公式を満たしていることが分かる。(※Z14)

証明

明らかである。(※Z27)