内積空間

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定義 ( 内積空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v、w∈V に対し、(v、w)∈K が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) (v、v)≧0 ((v、v)=0 ⇔ v=0 )

(2) (v、w)=(w、v)

(3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

(4) (cv、w)=c(v、w)

このとき、(v、w)を 『 v と w の内積 』 という。

また、V を 『 K上の内積空間 』 という。

上の定義に書かれている*は複素共役を意味する。

K= の場合、複素内積空間という。

K= の場合、実内積空間という。

実内積空間の場合、(2)は (v、w)=(w、v)と表せる。

(・、・):V×V→K と見なせば、内積は K 値関数である。

A3

V を K 上の内積空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※定義:内積空間)

(2)の証明

明らかである。(※定義:内積空間)

(3)の証明

(1)、(2)より、明らかである。

A4 ( 自然な内積 )

x、y∈ とおく。

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)とおく。

次のように定義する。



このとき、(・、・)は の内積である。

補足

つまり、ユークリッド空間 には自然に内積が入る。

証明

明らかに、



つまり、定義(内積空間)の(1)〜(4)が満たされる。

よって、(・、・) は の内積である。

参考

a、b∈ とおく。

高校では内積を次のように定義する。

(*1) (a、b)=|| a ||・|| b ||cosθ

ただし、|| ・ || はベクトルの長さを意味する。

また、θ は a と b の交角であるとする。

一方、A4 より、

(*2) (a、b)=a+a+a

実は、(*1)と(*2)の値は一致する。

証明

a、b∈ とおく。

いま、|| a ||+|| b ||−|| a−b ||=2|| a |||| b ||cosθである。(※高校の余弦定理)

また、|| a ||=a+a+a である。

また、|| b ||=b+b+b である。

また、|| a−b ||=(a−b+(a−b+(a−b である。(※中学のピタゴラスの定理)

よって、(a、b)=|| a ||・|| b ||cosθ=2−1(|| a ||+|| b ||−|| a−b ||)=a+a+a である。

A5 ( シュワルツの不等式〜その1 )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || ( v、w∈V )

この(*)を 『 シュワルツの不等式 』 という。

補足

実は、上記の || ・ || はノルムの公理を満たす。

このことは後の定理で示される。

証明

(v、w)=0 の場合は明らかである。

以下、(v、w)≠0 の場合について考える。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(v、w) が実数である場合について考える。

x を実数とする。

いま、0≦|| xv+w ||=(xv+w、xv+w)=x|| v ||+2x(v、w)+|| w || である。

よって、判別式より、(v、w)≦|| v |||| w || である。

よって、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(v、w) が複素数である場合について考える。

いま、(v、w)=|(v、w)|eiθ と表せる。(★1)

ここで、u=e−iθ v とおく。

いま、(u、w)=e−iθ(v、w)=e−iθ iθ|(v、w)|=|(v、w)|である。(★2)

つまり、(u、w)は実数である。

よって、(u、w)=(w、u)である。

一方、|| u ||=(u、u)=e−iθ(e−iθ(v、v)=(v、v)=|| v || である。

よって、|| u ||=|| v || である。(★3)

一方、(u、w)は実数であるから、上の結論より、|(u、w)|≦|| u ||・|| w || である。

よって、(★2)と(★3)より、|(v、w)|≦|| v ||・|| w || である。

(★1)について補足

複素数を偏角θで表せることは複素解析の基本である。

ただし、この考え方を使用するのはここだけなので、これを知らない人は気にしなくてもよい。

A6 ( 内積空間には自然にノルムが入る )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、||・|| はノルムである。

補足

つまり、内積からノルムを構成できる。

証明

次が成り立つことを示せばよい。

(*1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(*2) || cv ||=|c|・|| v || (c∈K)

(*3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

まず、(*1)は明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*2)も明らかである。(※定義:内積空間)

また、(*3)は次式によって示される。(※A5)

参考

ここまで、距離空間→ノルム空間→内積空間の順番で話を進めてきた。

しかし、理解するときは、内積空間→ノルム空間→距離空間の順番で考えると分かりやすいかもしれない。

そこで、ここまでの内容を、内積空間→ノルム空間→距離空間の順番で回想してみよう。

まず、(・、・)を内積とする。

ここで、|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

すると、||・|| は定義(ノルム)の条件を満たす。(※A6)

さらに、d(v、w)=|| w−v || と定義する。

すると、d は距離の公理を満たす。(※A2)

このように、内積空間には自然にノルムが入り、ノルム空間には自然に距離が入る。

つまり、内積空間には自然に距離が入る。

一方、よく知られているように、距離空間では点列の収束性や開集合を議論できる。

よって、内積空間に対しても、点列の収束性や開集合の概念を適用できる。

以下、内積空間を中心に議論を進める。