滑らかなベクトル場

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定義 ( ベクトル場〜その1 )

A を の部分集合とする。

任意の点 p∈A に対し、点 p を始点とする n 次元ベクトルを対応させる。

このような写像を 『 n 次元ベクトル場 』 という。

X を n 次元ベクトル場とする。

つまり、任意の点 p∈A に対し、X(p)∈ が対応する。

よって、X:A→2n と見なせる。

X(p)を X と表すこともある。

定義 ( ベクトル場〜その2 )

A を の部分集合とする。

F:A→ を写像とする。

このような写像を 『 n 次元ベクトル場 』 という。

定義(ベクトル場〜その1)と定義(〜その2)は始点を考慮するか否かの違いである。

注意

以下では定義(ベクトル場〜その1)を採用する。

定義 ( ベクトル場の微分 )

U を の開集合とする。

X:U→2n を n 次元ベクトル場とする。

X(p)=(p;X(p)、・・・、X(p))とおく。

( つまり、X:U→ である )

( X を 『 X の第 i 成分 』 という )

このとき、次のように定義する。

定義 ( 滑らかなベクトル場 )

U を の開集合とする。

X:U→2n を n 次元ベクトル場とする。

X(p)=(p;X(p)、・・・、X(p))とおく。

、・・・、X は滑らかな関数であるとする。

このとき、「 X は滑らかである 」 という。

注意

以下、とくに断りがない限り、ベクトル場は滑らかであるとする。

あるいは、議論に必要なだけ微分可能かつ連続であるとする。

定義 ( 座標ベクトル場 )

U を の開集合とする。

次のように定義する。



このとき、E、・・・、E を 『 の座標ベクトル場 』 という。

参考

X:U→2n を n 次元ベクトル場とする。

( つまり、U は の開集合である )

:U→ を X の成分とする。

このとき、次のように表せる。

(1) X(p)=(p;X(p)、・・・、X(p))

(2) X=X+・・・+X

むろん、どちらも同じ意味である。

定義 ( ベクトル積:ベクトル場 )

X、Y:U→3×2 をベクトル場とする。

X(p)=(p;X(p)、X(p)、X(p))、Y(p)=(p;Y(p)、Y(p)、Y(p))とおく。

( つまり、X=1≦i≦3、Y=1≦i≦3 である )

( つまり、各 X、Y は実数値関数である )

次のように定義する。



このとき、X×Y を 『 X と Y のベクトル積 』 という。

定義の式は形式的に次のように表せる。



実際、(*)を第3列について余因子展開すると、

定義 ( 勾配 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

、・・・、E:U→2n を座標ベクトル場とする。

次のように定義する。



このとき、∇f を 『 f の勾配 』 という。

∇f は 『 ナブラ 』 と読む。

∇f を gradf と書く書物もある。

次のように書いても意味は同じである。

定義 ( 積分曲線 )

X:U→2n を n 次元ベクトル場とする。

( つまり、U は の開集合である )

Γ:I→U を曲線とする。

任意の t∈I に対し、Γ’(t)=X(Γ(t))であるとする。

このとき、Γを 『 X の積分曲線 』 という。

つまり、積分曲線とは、その速度ベクトルがベクトル場に一致する曲線である。

A1 ( 極大積分曲線 )

X:U→2n を n 次元ベクトル場とする。

( つまり、U は の開集合である )

p∈U とおく。

このとき、ある曲線Γ:I→U が存在して、次を満たす。

(1) Γ(0)=p

(2) 任意の t∈I に対し、Γ’(t)=X(Γ(t))である。

(3) 上記(1)、(2)を満たす任意の曲線は、Γの制限である。

( このようなΓを 『 極大積分曲線 』 という )

補足

この定理は1階常微分方程式系の解の存在と一意性の言い換えである。

以下、1階常微分方程式系の解の存在と一意性を既知として証明を書く。

実は、微分方程式の解の存在と一意性の証明は少し長い。

また、これを知らないことによって後の理解に直接的な影響が出るわけではない。

だから、幾何学の本では微分方程式の解の存在と一意性を既知とする場合が多い。

興味がある人は、余裕のあるときに微分方程式のページなどで確認すればよい。

証明

X(p)=(p;X(p)、・・・、X(p))とおく。

Γ:I→U を曲線とする。

Γ(t)=(x(t)、・・・、x(t))とおく。

いま、



上記のことに注意して、条件(2)を書き下すと、



これは x、・・・、x に関する1階常微分方程式系である。

よって、ある解 x:J (i=1、・・・、n)が存在して、x(0)=p となる。(※微分方程式の解の存在)

これらの解をまとめて、α(t)=(x(t)、・・・、x(t))とおく。

いま、明らかに、α:J→U は X の積分曲線である。

また、α(0)=p が成り立つ。

以上で条件(1)、(2)を満たす曲線が存在することが示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

:J (i=1、・・・、n)を、常微分方程式系(*)の別の解とする。

(0)=p を満たすとする。

いま、任意の点 t∈J∩J に対して x(t)=y(t)である。(※微分方程式の解の一意性)(★)

ここで、β(t)=(y(t)、・・・、y(t))とおく。

いま、(★)より、任意の t∈J∩J に対してα(t)=β(t)である。

よって、αやβのような積分曲線をつなぎ合せ、極大積分曲線Γ:I→U を構成できる。

( つまり、I は、J や J の和集合である )

これで条件(3)が示された。

むろん、Γは条件(1)、(2)を満たしている。