滑らかな関数

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定義 ( 関数の滑らかさ )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

f の任意の階数の偏導関数が存在して、それらがすべて連続であるとする。

このとき、「 f は滑らかである 」 という。

つまり、滑らかな関数は扱いやすい。

何回でも偏微分できるし、それらはつねに連続である。

これを 『 C級 』 ということもある。

一方、r 階までの偏導関数が存在して、それらが連続であるような関数を C 級関数という。

より細かい議論をするときには、C 級関数を用いることもある。

定義 ( 写像の滑らかさ )

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

( つまり、φは多変数ベクトル値関数である )

φ=(φ、・・・、φ)とおく。

( つまり、φ(p)=(φ(p)、・・・、φ(p))と表せる )

( つまり、φ:U→ である )

任意のφ は滑らかであるとする。

このとき、「φは滑らかである 」 という。

定義 ( 曲線 )

I を の区間とする。

Γ:I→ を連続写像とする。

このとき、Γを 『 曲線 』 という。

注意

以下、とくに断りがない限り、関数や曲線は滑らかであるとする。

あるいは、その議論で必要なだけ微分可能かつ連続であるとする。