ノルム空間

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復習 ( 距離空間 )

X を空でない集合とする。

d:X×X→[0、∞)を写像とする。

任意の点 x、y、z∈X に対し、次が成り立つとする。

(1) d(x、y)=0 ⇔ x=y

(2) d(x、y)=d(y、x)

(3) d(x、y)≦d(x、z)+d(z、y)

このとき、d を 『 X 上の距離関数 』 という。

X に距離関数 d を導入したものを(X、d)と表す。

(X、d)を 『 距離空間 』 という。

(1)〜(3)を 『 距離の公理 』 という。

とくに、(3)は3角形の3辺の関係を一般化したものである。

つまり、2辺の和は他の1辺よりも大きくなる。

高校生はユークリッド空間の中でこの性質が成り立つことを知っている。

この3角形の性質のみを取り出し、距離が満たすべき本質的な公理として採用したのである。

注意

以下、K= または とする。

つまり、K は実数全体または複素数全体を意味する。

定義 ( ノルム空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

任意の v∈V に対し、実数 || v || が対応しているとする。

次が成り立つとする。

(1) || v ||≧0 ( || v ||=0 ⇔ v=0 )

(2) || cv ||=|c|・|| v || ( c∈K )

(3) || v+w ||≦|| v ||+|| w ||

このとき、|| v || を 『 v のノルム 』 という。

また、V を 『 K上のノルム空間 』 という。

とくに、(3)を 『 3角不等式 』 という。

|| ・ ||:V→[0、∞)と見なせば、ノルムは非負実数値関数である。

A1

V を K 上のノルム空間とする。

v、w∈V とおく。

このとき、||| v ||−|| w |||≦|| v−w || である。

証明

いま、|| v ||=|| (v−w)+w ||≦|| v−w ||+|| w || である。(※3角不等式)

よって、|| v ||−|| w ||≦|| v−w || である。

同様に、|| w ||−|| v ||≦|| w−v || である。

よって、||| v ||−|| w |||≦|| v−w || である。

A2 ( ノルム空間には自然に距離が入る )

V を K 上のノルム空間とする。

v、w∈V に対し、d(v、w)=|| v−w || と定義する。

このとき、(V、d)は距離空間である。

補足

つまり、ノルムから距離を構成できる。

証明

明らかに、次が成り立つ。

(*1) d(v、w)=|| v−w ||≧0 ( d(v、w)=0 ⇔ v=w )

(*2) d(v、w)=|| v−w ||=|| −(w−v) ||=|−1|・|| w−v ||=|| w−v ||=d(w、v)

(*3) d(v、w)=|| v−w ||≦|| v−u ||+|| u−w ||=d(v、u)+d(u、w)

つまり、d は距離の公理を満たす。

注意 ( ε近傍 )

V を K 上のノルム空間とする。

ε>0 とする。

v∈V とおく。

S(v、ε)={ x∈V : || x−v ||<ε} と定義する。

このとき、S(v、ε)を 『 v のε近傍 』 という。

むろん、S(v、ε)={ x∈V : d(v、x)<ε} と表しても意味は同じである。

注意 ( 開集合 )

V を K 上のノルム空間とする。

A を V の部分集合とする。

任意の点 v∈A に対し、あるε>0 が存在して、S(v、ε)⊂A となるとする。

このとき、A を 『 V の開集合 』 という。

注意 ( 閉集合 )

V を K 上のノルム空間とする。

A を V の部分集合とする。

ある開集合 B⊂V が存在して、A=B となるとする。

このとき、A を 『 V の閉集合 』 という。

注意 ( 点列の収束 )

V を K 上のノルム空間とする。

(vn∈ を V の点列とする。( つまり、任意の n=1、2、3、・・・に対し、v∈V である )

v∈V とする。

limn→∞|| v−v ||=0 であるとする。

このとき、「(vn∈ は v に収束する 」 という。

また、このことを limn→∞=v と表す。

あるいは、v→v ( n→∞ ) と表す。

また、v を 『(vn∈ の極限 』 という。

limn→∞|| v−v ||=0 は 『 実数列の極限 』 であることに注意。

実際、各 || v−v || は実数である。

つまり、実数列の極限に基づいて点列の極限を定義したのである。