ピタゴラスの定理

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A12 ( ピタゴラスの定理 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V を互いに直交するベクトルとする。

このとき、|| v+w ||=|| v ||+|| w || である。

証明

|| v+w ||=(v+w、v+w)=(v、v)+(v、w)+(w、v)+(w、w)である。

いま、(v、w)=0、(w、v)=0 である。

よって、|| v+w ||=(v、v)+(w、w)=|| v ||+|| w || である。

A13 ( 中線定理 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V とおく。

このとき、|| v+w ||+|| v−w ||=2(|| v ||+|| w ||)である。

補足

とくに、v=φ+η、w=ψ−ηとおくと、

(*) ||φ+ψ||+||φ−ψ+2η||=2(||φ+η||+||ψ−η||

この形の式は後で少し使用する。

証明

いま、|| v+w ||=(v+w、v+w)=(v、v)+(v、w)+(w、v)+(w、w)である。

w を −w に変更すると、|| v−w ||=(v、v)+(v、−w)+(−w、v)+(w、w)である。

よって、|| v+w ||+|| v−w ||=2(|| v ||+|| w ||)である。