p階反変テンソル、p階共変テンソル、混合テンソル

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定義 ( p階反変テンソル空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

p個の V で構成されるテンソル積 V○・・・○V を T(V)と表す。

(V)を 『 p階反変テンソル空間 』 という。

例えば、T(V)=V○V○V である。

定義 ( q階共変テンソル空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

を V の双対空間とする。

q個の V で構成されるテンソル積 V○・・・○V を T(V)と表す。

(V)を 『 q階共変テンソル空間 』 という。

例えば、T(V)=V○V○V である。

定義 ( p階反変q階共変テンソル空間 )

p個の V、q個の V によって構成されるテンソル積を T(V)と表す。

(V)を 『 p階反変 q階共変テンソル空間 』 という。

V と V の順番は問題にならない。(※Z15)

参考

(V)とL(V、・・・、V、V、・・・、V;K)は同型である。(※Z8)

(V)とHom(V、V)は同型である。(※Z18)

(V)、(V○V)○V、Hom(V○V、V)、L(V、V;V)は同型である。(※Z13、Z18、Z12)

Z19

(V)をテンソル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

={ φ、・・・、φ } を E の双対基底とする。

このとき、次の集合(*)は、T(V)の基底である。

証明

明らかである。(※Z10)