レベル曲面

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定義 ( レベル集合 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

c を実数とする。

このとき、f−1(c)を 『 f の c レベル集合 』 という。

あるいは 『 f=c の等位面 』 という。

あるいは 『 f=c の等温面 』 という。

−1(c)は、f による{c}の逆像である。

つまり、f−1(c)={ x∈|f(x)=c } である。

定義 ( 正則点 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

∇f(p)≠0 であるとする。

このとき、p を 『 f の正則点 』 という。

定義 ( レベル曲面 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

c を、f−1(c)が空でない実数とする。

S=f−1(c)とおく。

任意の点 p∈S に対し、∇f(p)≠0 とする。

このとき、S を 『 内のレベル曲面 』 という。

つまり、レベル曲面とは、任意の点が正則点になっているレベル集合のことである。

参考 ( 具体例 )

S={(x、・・・、x)∈|x+・・・+x=1 } とおく。

( つまり、S は単位球面である )

このとき、S はレベル曲面である。

証明

f: を f(x、・・・、x)=x+・・・+x で定義する。

いま、S=f−1(1)と表せる。

また、∇f(x、・・・、x)=((x、・・・、x);2x、・・・、2x)である。

よって、任意の(x、・・・、x)≠(0、・・・、0)において ∇f(x、・・・、x)≠0 である。

よって、任意の p∈S に対して ∇f(p)≠0 である。

よって、S はレベル曲面である。

参考 ( 具体例 )

(a、・・・、a)∈ とおく。

ただし、(a、・・・、a)≠0 とする。

b∈ とおく。

S={(x、・・・、x)|a+・・・+a=b } とおく。

( つまり、S は平面である )

このとき、S はレベル曲面である。

証明

f: を f(x、・・・、x)=a+・・・+a で定義する。

いま、S=f−1(b)と表せる。

また、∇f(x、・・・、x)=((x、・・・、x);a、・・・、a)である。

よって、任意の点 p∈S に対して ∇f(p)≠0 である。

よって、S はレベル曲面である。

B1 ( レベル曲面は多様体 )

内のレベル曲面は、(n−1)次元多様体である。

補足

ここの議論は少し難しい。

後の理解に直接的な影響は出ないので読まなくてもよい。

証明

S=f−1(c) を 内のレベル曲面とする。

p=(p、・・・、p)∈S とおく。

いま、∇f(p)≠0 である。

よって、f の偏微分係数のうち、少なくとも1つは 0 ではない。

そこで、(∂f/∂xn−1)(p)≠0 としても一般性を失わない。

いま、実数値関数 h:D→ が存在して次を満たす。(※逆写像定理)

(1) D⊂n−1 は点(p、・・・、pn−1)の近傍である。

(2) h(D)⊂S

(3) h のグラフは点 p の近傍である。

ただし、h のグラフとは、{(u、・・・、un−1、h(u、・・・、un−1))∈|(u、・・・、u)∈D}を意味する。

ここで、φ:D→ をφ(u、・・・、un−1)=(u、・・・、un−1、h(u、・・・、un−1))で定義する。

いま、φはパラメータである.

しかも、点 p∈S は任意である。

よって、S は(n−1)次元多様体である。