接空間、接ベクトル場

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定義 ( 接空間〜その1 )

S を 内の曲面とする。

p∈S とおく。

v∈ とおく。

曲線Γ:I→S が存在して、Γ’(0)=v となるとする。

( つまり、これはΓ(0)=p も意味する )

このとき、v を 『 点 p における S の接ベクトル 』 という。

また、点 p における S の接ベクトル全体を TS と表す。

TS を 『 点 p における S の接空間 』 という。

TS を T(S)と表す書物も多い。

明らかに、接空間はベクトル空間である。

n=3 の場合、TS を 『 接平面 』 と呼ぶこともある。

定義 ( 接空間〜その2 )

φ:D→ を2次元的曲面とする。

S=φ(D)とおく。

p∈S とおく。

p=φ(u、v)とおく。

いま、∂φ(u、v)と∂φ(u、v)はベクトルである。

また、∂φ(u、v)と∂φ(u、v)は1次独立である。

そこで、{∂φ(u、v)、∂φ(u、v)}によって生成されるベクトル空間を TS と表す。

このとき、TS を 『 φ の点 p における接空間 』 という。

あるいは、『 S の点 p における接空間 』 という。

接空間に属するベクトルを 『 接ベクトル 』 という。

定義 ( 接ベクトル場 )

S を 内の曲面とする。

任意の点 p∈S に対し、点 p を始点とする S の接ベクトルを対応させる。

このようなベクトル場を 『 S の接ベクトル場 』 という。

参考

上では定義(接空間〜その1)、定義(〜その2)を定義した。

どちらを定義として採用するかということは本によって異なる。

実は、この2つの定義は本質的に同じものである。

このことは次の定理によって確認される。

B3 ( 多様体での速度ベクトルに対する同値条件 )

M を 内のパラメータ付き2次元多様体とする。

p∈M とおく。

とおく。

φ:D→M をパラメータとする。

φ(u、v)=p であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) v は M の接ベクトルである。

(2) v は、∂φ(u、v)と∂φ(u、v)の1次結合で表される。

補足

φ(・、v)、φ(u、・)は M上の曲線である。

よって、∂φ(u、v)、∂φ(u、v)は、点(u、v)における M の接ベクトルである。

証明

(1)を仮定する。

つまり、v∈TM である。

いま、ある曲線Γ:I→M が存在して、Γ’(0)=v となる。

( つまり、Γ(0)=p である )

また、あるパラメータφ:D→M が存在して、Γ(I)⊂φ(D)となる。

( ただし、I は必要に応じて制限する )

よって、ある曲線α:I→D が存在して、Γ(t)=φ(α(t))となる。

( これはφ−1 が連続であることによる。つまり、多様体であるおかげである )

ここで、α(t)=(α(t)、α(t))とおく。

合成関数の微分より、



いま、p=φ(u、v)である。

よって、α(0)=u、α(0)=v である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

つまり、ある c、c が存在して、v=cφ(u、v)+cφ(u、v)と表せる。

Γ:I→M をΓ(t)=φ(u+ct、v+ct)で定める。

いま、Γ’(0)=v である。

よって、v∈TM である。