微分写像

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定義 ( 微分写像〜その1 )

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

( つまり、v∈U× と見なすこともできる )

Γ:I→U を曲線とし、Γ’(0)=v とする。

( つまり、Γ(0)=p である )

次のように定義する。



このとき、dφを 『 φの微分 』 という。

(φ*Γ)’(0)は、φ(p)∈ を始点とする m 次元ベクトルである。(※定義:速度ベクトル)

参考

定義(微分写像〜その1)を図示すると、



改めて、定義の内容を書き下すと、

(*1) まず、v∈U× とおく。

(*2) v を速度ベクトルとしてもつような曲線Γを考える。

(*3) この曲線をφで写し、曲線φ*Γを得る。

(*4) 曲線φ*Γの速度ベクトル(φ*Γ)’(0)を dφ(v)として定義する。

(*5) つまり、dφ(v)∈× である。

以上により、U× から × への写像が定まった。

上記の考え方は今後も何度も登場する。

また、多様体論などでも同様の考え方が重要になる。

A2

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

φ=(φ、・・・、φ)とおく。

( つまり、各φ は U 上の実数値関数である )

dφ:U×2m をφの微分とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(4)は同じ意味である。

補足

(2)の式に注目してほしい。

これは dφ(v)がΓに依存しないことを意味する。

だから、定義(微分写像〜その1)を定義できたのである。

論理的には、このことを示してから定義すべきだが、あえて順番を逆にした。

補足

(1)を dφ(v)=(φ(p);(φ*Γ)’(0)、・・・、(φ*Γ)’(0))と書いても意味は同じである。

(3)を dφ(v)=(φ(p);φ(p+tv)’(0)、・・・、φ(p+tv)’(0))と書いても意味は同じである。

(4)を dφ(v)=(φ(p);(φ(p+tv)’(0))と書いても意味は同じである。

証明

(1)は定義そのままである。

(1)を計算すれば(2)が得られる。(※合成関数の微分)

実際、



(2)によれば、dφ(v)はΓの取り方に依存していない。

つまり、Γ’(0)=v を満たすならば、Γは任意でよい。

そこで、Γ(t)=p+tv としてよい。

これで(1)から(3)が得られる。

(4)は(3)を書き換えただけである。

定義 ( 微分写像〜その2 )

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

dφ:U×2m をφの微分とする。

p∈U とおく。

次のように定義する。



( つまり、dφの定義域 U× を{p}× に制限したものを dφ と表す )

このとき、dφ を 『 点 p におけるφの微分 』 という。

A3

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

φ=(φ、・・・、φ)とおく。

dφφ(p) を点 p∈U におけるφの微分とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(4)は同じ意味である。

証明

明らかである。(※A2)

というより、ただ見方を変えただけなので式も何も変わらない。

A4

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

dφφ(p) を点 p∈U におけるφの微分とする。

A=(aij)を、φ(p) の自然基底に関する dφ の表現行列とする。(★)

このとき、A はφのヤコビ行列である。

つまり、次が成り立つ。

(★)について補足

明らかに、dφ は線形写像である。(※A3(2))

よって、dφ について表現行列を考えることができる。

証明

{ e、・・・、e } を の自然基底とする。

{ e’、・・・、e’} を φ(p) の自然基底とする。

( つまり、e、・・・、e は点 p を始点とするベクトルである )

( つまり、e’、・・・、e’ は点 φ(p)を始点とするベクトルである )

表現行列の定義より、



よって、次が成り立つ。(※A3)

参考

U を の開集合とする。

φ:U→ を写像とする。

微分積分学でよく知られているように、φの微分係数φ’はφのヤコビ行列である。

そこで、最初から(dφ)(v)=φ’(p)(v)と定義している書物もある。

実際、これは定義(微分写像〜その2)に一致する。(※A3(2))

参考 ( 微分積分学の方向微分 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

v を n 次元のベクトルとする。(始点は考慮しなくてよい)

次の極限が存在するとする。



このとき、Df(p)を 『 f の点 p における v 方向の微分 』 という。

これは定義(微分写像〜その1)に一致する。(※A2(4))

ただし、v の向きは固定されている。

ちなみに、微分積分学の書物では、v として単位ベクトルを採用することが多い。

以上から分かるように、微分写像は方向微分の一般化である。

参考

以上で、dφ(v)と Df(p)を紹介した。

実は、後に ∇f というものも登場する。

dφ(v)の v は、始点も向きも自由に動くニュアンスである。

f(p)の v は、始点が自由に動くが、向きは固定しているニュアンスである。

f の v は、始点は固定されているが、向きは自由に動くニュアンスである。

とくに、∇f は、後で曲面の形状を調べるときに重要になる。