span、シュミットの正規直交化

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定義 ( 生成〜その1 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、・・・、v∈V とおく。

W={ c+・・・+c|c∈K、i=1、・・・、r } と定義する。

明らかに、W は V の部分空間である。

このとき、W を 『 { v、・・・、v } によって生成される部分空間 』 という。

また、W を span(v、・・・、v) と表す。

定義 ( 生成〜その2 )

V を K 上のベクトル空間とする。

A を V の部分集合とする。

次のように定義する。



このとき、span(A)を 『 A によって生成される部分空間 』 という。

定義 ( 直交〜その1 )

V を K 上の内積空間とする。

v、w∈V とおく。

(v、w)=0 であるとする。

このとき、「 v と w は直交する 」 という。

また、v⊥w と表す。

定義 ( 直交〜その2 )

V を K 上の内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

v∈V とおく。

任意の w∈A に対し、v⊥w であるとする。

このとき、「 v と A は直交する 」 という。

また、v⊥A と表す。

定義 ( 正規直交系、正規直交基底 )

V を K 上の内積空間とする。

A を V の部分集合とする。

任意の v、w∈A は直交するとする。

このとき、A を 『 V の直交系 』 という。

とくに、A の任意の元が単位ベクトルであるとき、『 正規直交系 』 という。

さらに、A が V の基底であるとき、『 正規直交基底 』 という。

単位ベクトルとは、|| v ||=1を満たすベクトルのことである。

A9 ( 直交系は1次独立である )

V を K 上の内積空間とする。

A={ v、・・・、v } を V の直交系とする。

任意の k=1、・・・、r に対し、(v、v)≠0 であるとする。

このとき、A は1次独立である。

証明

+・・・+c=0 とおく。

ここで、上式の両辺に v を掛けると、c(v、v)=0 である。

よって、c=0 である。

同様に、c=0、・・・、c=0 である。

よって、{ v、・・・、v } は1次独立である。

A10 ( シュミットの正規直交化 )

V を K 上の内積空間とする。

、・・・、v∈V を1次独立な元とする。

このとき、正規直交系 e、・・・、e が存在して次を満たす。

(*) 任意の 1≦i≦r に対して span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。

補足

この定理によって有限次元内積空間における正規直交基底の存在が保証される。

実際、有限次元内積空間は基底をもつから、ここから正規直交基底を構成すればよい。

同様に、可算次元内積空間に対しても正規直交基底の存在が保証される。

証明

(≠0)∈V とおく。

=v/|| v || とおく。

いま、|| e ||=1 である。

つまり、r=1の場合について、定理が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

i=r−1 の場合について定理が成り立つとする。(帰納法)

、・・・、v は1次独立であるとする。(★1)

いま、ある正規直交系 e、・・・、er−1 が存在して、次を満たす。

(*) 任意の k=1、・・・、r−1 に対し、e∈span(v、・・・、v

ここで、e=v1≦k≦r−1(e、v)e とおく。(★2)

=0 であると仮定する。(背理法)

いま、v は e、・・・、er−1 の1次結合である。

よって、v∈span(v、・・・、vr−1)である。

つまり、v、・・・、v は1次従属である。

これは(★1)に矛盾する。

よって、e≠0 である。(★3)

さて、(*)、(★2)より、e∈span(v、・・・、v)である。

また、i=1、・・・、r−1 に対し、



いま、(★3)より、|| e ||≠0 である。

そこで、e=e/|| e || とおく。

いま、e∈span(v、・・・、v)である。

また、e、・・・、e は正規直交系である。

よって、e、・・・、e は1次独立である。(※A9)

よって、span(e、・・・、e)=span(v、・・・、v)である。(※A9)

A11 ( 非退化性 )

V を K 上の有限次元内積空間とする。

v∈V とおく。

任意の w∈V に対し、(v、w)=0 であるとする。

このとき、v=0 である。

これを 『(内積の)非退化性 』 という。

補足

この定理によって次のことが分かる。

(*) 任意の w∈V に対して(a、w)=(b、w)ならば、a=b である。

実際、(a、w)=(b、w)を変形すれば、(a−b、w)=0 であるから、a−b=0 である。

証明

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。(※A9の補足)

いま、v=a+・・・+a と表せる。

よって、(v、e)=a である。

よって、a=0 である。

よって、v=0 である。