四面体の体積を行列式で表す

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S2 ( 3角形の面積と行列式 )

P=(x、y)、Q=(x、y)、R=(x、y)∈ とおく。

S を三角形 PQR の面積とする。

このとき、

補足

上式の右辺は行列式の絶対値である。

証明

いま、PQ=(x−x、y−y)、PR=(x−x、y−y)である。

また、|PQ=(x−x+(y−y である。

また、|PR=(x−x+(y−y である。

また、PQ・PR=(x−x)(x−x)+(y−y)(y−y)である。

よって、|PQ・|PR−(PQ・PR=((y−y)(x−x)−(x−x)(y−y)) である。

一方、S=2−1|PQ|・|PR|sin∠QPR である。

また、sinθ+cosθ=1である。

また、PQ・PR=|PQ|・|PR|cosθである。

よって、

S3 ( 四面体の体積と行列式 )

P=(x、y、z)、Q=(x、y、z)、R=(x、y、z)、S=(x、y、z)∈ とおく。

V を四面体 PQRS の面積とする。

このとき、

証明

原点、P=(x、y、z)、P=(x、y、z)、P=(x、y、z) を頂点とする四面体を考える。(★)

V を、この四面体の体積とする。

この四面体の体積は、OP、OP、OP を3辺とする平行六面体の 1/6 である。



OP を x’軸として採用する。

x’軸に直交する y’軸をとる。

x’y’平面と垂直に z’軸をとる。

こうして、新しく右手系座標系を構成する。

いま、P=(x’、0、0)、P=(x’、y’、0)、P=(x’、y’、z’)と表せる。

U を、(x、y、z) から (x’、y’、z’) への直交変換行列とする。

いま、



よって、



両辺の行列式をとると、次が成り立つ。(※S1)



一方、V=(1/6)|x’y’z’|である。

よって、



これで(★)を頂点とする四面体の体積が得られた。

次に、座標系を平行移動させて、原点を(x、y、z)に移す。

すると、