双対基底(一意性)

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参考

以下、ベクトル空間は有限次元であるとする。

いくつかの定理は無限次元にも拡張されるが、この辺りの議論は他書でも有限に限ることが多い。

定義 ( V

V を K 上のベクトル空間とする。

V から K への線形写像全体を V と表す。

を 『 V の双対空間 』 という。

明らかに、V はベクトル空間である。

定義 ( Hom )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

Hom(V、W)={ f:V→W|f は線形写像 }と定義する。

Z1

V を K 上のベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意的に v=1≦i≦n ( c∈K ) と表せる。

φ:V→K をφ(v)=c で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ∈V

(2) φ(e)=δij

(3) {φ、・・・、φ}は V の基底である。

(4) dimV=dimV

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

まず、{φ、・・・、φ}が1次独立であることを示す。

1≦i≦nφ=0 とする。

いま、任意の v∈V に対し、1≦i≦nφ(v)=0 である。

とくに、v=e の場合を考える。

すると、(2)より、c=0 (k=1、・・・、n)である。

よって、{φ、・・・、φ}は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、{φ、・・・、φ}が Vを生成することを示す。

φ∈V とおく。

v∈V とおく。

いま、v=1≦i≦n と表せる。

また、φ(v)=1≦i≦nφ(e)=1≦i≦nφ(v)φ(e)である。

ここで、d=ψ(e)∈K とおく。

いま、φ=1≦i≦nφ である。

これはφ が V を生成することを意味する。

(4)の証明

(3)より明らかである。

定義 ( 双対基底 )

V を K 上のベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意的に v=c+・・・+c と表せる。

φ:V→K をφ(v)=c で定義する。

いま、{φ、・・・、φ}は V の基底である。(※Z1)

{φ、・・・、φ}を 『 E の双対基底 』 という。

上では v=c+・・・+c と書いた。

このとき、(c、・・・、c)を 『 v の座標 』 という。

つまり、双対基底とは、各ベクトルに対してその座標を対応させるベクトルのことである。

Z2

v∈V とおく。

任意のφ∈V に対し、φ(v)=0 であるとする。

このとき、v=0 である。

証明

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

{φ、・・・、φ} を E の双対基底とする。

いま、v=1≦i≦n と表せる。

仮定より、φ(v)=0 (i=1、・・・、n)である。

よって、c=0 である。(※定義:双対基底)

よって、v=0 である。

Z3 ( Z2の改良 )

{φ、・・・、φ } を V の基底とする。

v∈V とおく。

任意の i=1、・・・、n に対し、φ(v)=0 であるとする。

このとき、v=0 である。

証明

φ∈V とおく。

いま、φ=1≦i≦nφ と表せる。

よって、仮定より、φ(v)=0 である。

よって、v=0 である。(※Z2)

Z4 ( 線形写像の一意性 )

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

f、g:V→W を線形写像とする。

任意の i=1、・・・、n に対し、f(e)=g(e)であるとする。

このとき、f=g である。

証明

v∈V とおく。

いま、v=1≦i≦n と表せる。

よって、f(v)=1≦i≦nf(e)=1≦i≦ng(e)=g(v)である。

よって、f=g である。

Z5 ( 双対基底の一意性 )

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

{ φ、・・・、φ } を E の双対基底とする。

{ ψ、・・・、ψ } を V の基底とする。

任意の i=1、・・・、n に対し、ψ(e)=δij であるとする。

このとき、φ=ψ である。

証明

いま、φ(e)=δij である。(※定義:双対基底)

仮定より、ψ(e)=δij である。

よって、φ(e)=ψ(e)である。

よって、φ=ψ である。(※Z4)

Z6 ( 双対という名前の由来 )

V と V** は(ベクトル空間として)同型である。

補足

これが 『 双対 』 という名前の由来である。

補足

ちなみに、無限次元の場合は、V** の方が大きくなってしまう。

証明

**=(V=Hom(V、K)である。

v∈V とおく。

:V→K を F(φ)=φ(v)で定義する。

明らかに、F は線形である。

よって、F∈V** である。

F:V→V** を F(v)=F で定義する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 以下、Fが同型写像であることを示す )

明らかに、F は線形写像である。

いま、dimV=dimV=dimV** である。(※Z1)(★1)

v∈KerF とおく。

つまり、F(v)=0 である。

いま、任意のφ∈V に対し、φ(v)=0 である。

よって、v=0 である。(※Z2)

以上により、KerF={0}である。

よって、F は単射である。(※線形代数)(★2)

(★1)、(★2)より、F は全射である。(※線形代数の次元定理)

つまり、F は線形写像かつ全単射である。

つまり、F は同型写像である。

参考

Z6 では F:V→K を定義した。

似たようなことはテンソル積のところでも扱う。

簡単に言えば、テンソル積は、F×F:V×V→F(φ)F(ψ)である。

Z6 の証明を理解することはテンソル積の理解にもつながる。