シュワルツの不等式の応用

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A7 ( シュワルツの不等式〜その2 )

a、b∈ とおく。

a=(a、・・・、a)、b=(b、・・・、b)とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

これを 『 コーシー・シュワルツの不等式 』 という。

証明

x=(|a|、・・・、|a|)、y=(|b|、・・・、|b|)とおく。

いま、x、y∈ である。

(・、・) を の自然な内積とする。(※A4)

すると、(x、y)≦|| x |||| y || である。(※A5)

つまり、定理の式が成り立つ。

A8 ( シュワルツの不等式〜その3 )

[a、b] を 上の閉区間とする。

[a、b] を、[a、b]上の連続な複素数値関数全体とする。

f、g∈C[a、b]とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

むろん、|f(t)|、|g(t)|は実数値関数である。

よって、上記の積分は普通の積分である。

複素積分と混同しないように注意しよう。

証明

F=|f|、G=|g|とおく。

いま、F、G∈C[a、b] である。( C[a、b] は [a、b]上の連続な実数値関数全体である )

(F、G)=∫FGdt と定義する。( FG(t)=F(t)G(t)である )

明らかに、(F、G)は C[a、b]上の内積である。

よって、定理の式が成り立つ。(※A5)