対称性と交代性は座標変換に関して不変

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定義 ( 対称テンソル、交代テンソル )

T=(Tijk)を(0、3)テンソルとする。

( あるいは、T=(Tijk) として(3、0)テンソルを考えてもよい )

次のような条件を考える。



とくに、(*1)が成り立つとき、「 T は i と j について対称である 」 という。

一方、(*2)が成り立つとき、「 T は i と j について交代である 」 という。

対称性、交代性は同じ性質の指標について定義される。

つまり、反変性または共変性のいずれか一方のみに定義される。

Z22

(1) テンソルの対称性は基底変換に関して不変である。

(2) テンソルの交代性は基底変換に関して不変である。

(1)の証明

T を2階共変テンソルとする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

ij=Tji とする。

Z14より、

(2)の証明

(1)と同様である。