多様体

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復習 ( 開被覆 )

(Uλλ∈J の開集合族とする。

A を の部分集合とする。

A⊂∪λ∈Jλ であるとする。

このとき、(Uλλ∈J を 『 A の開被覆 』 という。

復習 ( 部分集合の開集合 )

A を の部分集合とする。

U を A の部分集合とする。

ある開集合 O⊂ が存在して、U=A∩O となるとする。

このとき、U を 『 A の開集合 』 という。

つまり、A の開集合が の開集合であるとは限らない。

例えば、A として 内の曲面を考えてみよう。

これに対し、の開集合 O を考えて、U=A∩O とおく。

いま、U は A の開集合である。

しかし、明らかに の開集合ではない。

定義 ( パラメータ付き多様体 )

D を の開集合とする。

φ:D→ を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) φは単射である。

(2) 任意の点 p∈D に対し、dφ は単射である。

(3) φ−1:φ(D)→D は連続である。

このとき、φを 『 内のパラメータ付き k 次元多様体 』 という。

条件(1)より、φ:D→ は単射である。

よって、終域を からφ(D)に変更すればφは全単射である。

なので、逆写像φ−1:φ(D)→D を考えることができる。

条件(2)は rankdφ=k を意味する。(※線形代数の次元定理)

定義 ( ユークリッド空間の多様体〜その1 )

M を の部分集合とする。

任意の点 p∈M に対し、ある開集合 U⊂M が存在して、次が成り立つとする。

(1) p∈U

(2) パラメータ付き k 次元多様体φ:D→M が存在して、φ(D)=U となる。

このとき、M を 『 内の k 次元多様体 』 という。

また、φを 『 点 p のまわりのパラメータ 』 という。

また、φ−1 を 『 点 p のまわりのチャート 』 という。

φ−1 を 『 局所座標 』 と呼ぶ書物もある。

簡単に言えば、多様体とは、曲面の抽象化である。

定義 ( ユークリッド空間の多様体〜その2 )

M を の部分集合とする。

(Uλλ∈J を M の開被覆とする。

( つまり、任意のλ∈J に対して Uλ⊂M である )

φλ:Uλ をチャートとする。

( つまり、各λ∈J に対して M の開集合 Uλ とチャートφλ:Uλ が定まっている )

このとき、M を 『 内の k 次元多様体 』 という。

これは定義(ユークリッド空間の多様体〜その1)と同じ意味である。

こちらの方で多様体と定義している書物もある。

この場合、定義(〜その1)とはφの向きが逆である。

注意

定義(ユークリッド空間の多様体〜その1)と定義(〜その2)は同じである。

このサイトでは定義(〜その1)を採用して話を進める。

参考

M を 内の k 次元多様体とする。

いま、M は の部分集合である。

ただし、曲面 M 上に座標が描かれているわけではない。

つまり、曲面 M を1つの空間と見なした場合、M に座標が入っているわけではない。

しかし、いま、パラメータ付き k 次元多様体φ:D→M が存在して、φ(D)=U となる。

このとき、U と D の各点は1対1に対応している。

これは U に座標が入っていることを意味する。

つまり、多様体とは、任意の点 p∈M の近傍に座標を入れることができる曲面を意味する。

つまり、M に局所的に座標が描かれているのと同じことである。



つまり、多様体は歪んだ座標軸である。

さらに、この歪んだ座標軸上で実数値関数 f:M→ を考えることができる。

多様体論では、この関数 f に微分や積分を定義する。

これは直交座標上での微分や積分の一般化である。

ただし、座標の入れ方は一通りではないことに注意しよう。

例えば、曲線Γ:I→M を考える。

φ:D→U、φ:D→U を M のパラメータとする。

いま、φ−1*Γとφ−1*Γ は異なる。

参考 ( グラフ曲面 )

D を の領域とする。

g:D→ を関数とする。

M={(x、y、z)∈|z=g(x、y)、(x、y)∈D } とおく。

( つまり、M は g のグラフである )

これを 『 グラフ曲面 』 という。

このとき、M は 内の2次元多様体である。

証明

φ:D→ をφ(u、v)=(u、v、g(u、v))で定める。

明らかに、φは単射である。(★1)

また、



つまり、φのヤコビ行列の rank は 2 である。

よって、rankdφ=2 である。(※A4)(★2)

また、明らかに、φ−1:φ(D)→D は連続である。(★3)

(★1)〜(★3)より、φは 内のパラメータ付き2次元多様体である。

むろん、これを1つの2次元多様体と見なしてもよい。

つまり、M は 内の2次元多様体である。