テンソルの別定義

サイトのTOP→理系インデックス
ベクトル解析のTOP→ベクトル解析インデックス





参考

前ページでは、テンソルを線形写像として定義し、座標変換公式を導いた。

一方、座標変換公式から出発してテンソルを構成することもできる。

それをこのページで示す。

参考

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

このとき、次が成り立つ。(※Z2、Z3、Z14)



これらはいずれも座標変換公式である。

Z18

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

(v)、(c)、(Pjk)を実数の組とする。

次のようにおく。



このとき、(v)、(c)、(Pjk)、(v’)、(c’)、(P’jk)を成分にもつテンソルが存在する。

とくに、(1)は(1、0)テンソル、、(2)は(0、1)テンソル、(3)は(1、2)テンソルである。

むろん、(1、1)テンソルや(r、s)テンソルも同様である。

補足

つまり、この定理をテンソルの定義として採用することもできる。

(1)の証明

いま、e’ である。

よって、(1)より、



そこで、v=v’e’=v とおく。

いま、v は反変ベクトルである。

むろん、この v は条件(1)を満たしている。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

(1)と同様である。

Z19

I=(δ)とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) I は(δ)を成分にもつ(1、1)テンソルである。

(2) 任意の反変ベクトル v に対して I(v)=v である。

(3) 任意の共変ベクトルφに対して I(φ)=φ である。

(1)の証明

いま、Aδ=A=δ である。

つまり、I=A である。

よって、これは(1、1)テンソル I を構成する。(※Z18)

(2)の証明

v=(v)を反変ベクトルとする。

いま、I(v)=(δ)=(v)=v である。

(3)の証明

φ=(c)を共変ベクトルとする。

いま、I(φ)=(δ)=(c)=φ である。