クリストフェル記号

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定義 ( クリストフェル記号 )

(u)を曲線座標系とする。

{ e(P)、e(P)、e(P)} を (u) の自然基底とする。

次のように定義する。



これを 『 クリストフェル記号 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

Γ=(u(t))を滑らかな曲線とする。

その接線ベクトルをdΓ/dt と表す。

いま、次のように表せる。



これを dΓ=du と表す。(★1)

dΓは点(u)から(u+du)までの変位と考えられる。

点 P=(u)での自然基底と、点 P=(u+du)での自然基底は異なる。

そこで、e(P)=e(P)+de とおく。

さらに、de=ω とおく。(★2)

ただし、ω は du の1次式である。

つまり、ω はΓjkdu と表せる。(★3)

(★1)〜(★3)より、



いま、曲線は滑らかである。

よって、



よって、Γjk=Γkj である。(★4)

いま、gij=e・e である。

よって、両辺の微分をとると、dgij=de・e+e・de である。

よって、(★2)より、dgij=ωpj+gipω である。

よって、(★3)より、



上式について、j と k を交換した式と、i と k を交換した式を考えると、



(*2)と(*3)の和をとり、(*1)を両辺で引くと、(★4)より、



上式の両辺に対し、gqi を掛け、i について縮約すると、



よって、



記号を書き換えると、

参考 ( クリストフェル記号の添え字 )

上の(★2)、(★3)より、de=(Γjkdu)e である。

よって、Γjk=∂e/∂u である。

つまり、クリストフェル記号の添え字 i、j、k には次の意味がある。

i → e を u で微分したとき、同方向になる基底ベクトルの種類。

j → 微分される基底ベクトルの種類。

k → 基底ベクトルを微分する座標。

Z31

次が成り立つ。

証明

既に述べた。(※定義(クリストフェル記号)補足)

Z32

(u’、u’、u’)を座標変換とする。

Γjk を(u)に関するクリストフェル記号とする。

Γ’jk を(u’)に関するクリストフェル記号とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

Z27 より、



上式を u’ で偏微分する。

( ただし、gjk は(u、u、u)の関数であるから、u(u’、u’、u’)と見なすことに注意 )

すると、



上式について、b と d を交換した式、c と d を交換した式を考える。

さらに、この2つの式の和を考え、上式を引く。

すると、



一方、



よって、1つ上の式の両辺に g’ad を掛けて d について縮約すると、

(2)の証明

(1)と同様である。

Z33

(u)を曲線座標系とする。

Γjk を(u)に関するクリストフェル記号とする。

このとき、次は同値である。

(1) (u)は直線座標系である。

(2) Γjk=0

証明

(1)を仮定する。

いま、gij はすべて定数である。

よって、Γjk=0 である。(※定義:クリストフェル記号)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

Z31 より、



よって、∂gij/∂u=0 である。

よって、gij はすべて定数である。