テンソル積の基本(ベクトル空間ver)

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参考

テンソル積の構成法は書物によって異なって視える場合がある。

しかし、これらは本質的に同一のものである。

そこで、このサイトではこれら2つの構成法が同一のものであることに注目して解説する。

定義 ( p重線形写像 )

、・・・、V、W を K 上のベクトル空間とする。

写像 f:V×・・・×V→W が各変数 v∈V について線形であるとする。

このとき、f を 『 p重線形写像 』 という。

つまり、

定義 ( 双線形写像 )

、V、W を K 上のベクトル空間とする。

写像 f:V×V→W が次を満たすとする。

(1) f(x+x’、y)=f(x、y)+f(x’、y)

(2) f(x、y+y’)=f(x、y)+f(x、y’)

(3) f(ax、y)=f(x、ay)=af(x、y)

このとき、f を 『 双線形写像 』 という。

つまり、双線形写像とは、2重線形写像である。

注意 ( 表記について )

V、W、U、V、・・・、V を K 上のベクトル空間とする。

次のように定義する。

Hom(V、W)={ f:V→W|f は線形写像 }

L(V、W;U)={ f:V×W→U|f は双線形写像 }

L(V、・・・、V;U)={ f:V×・・・×V→U|f はp重線形写像 }

明らかに、Hom(V、W)、L(V、W;U)、L(V、・・・、V;U)はベクトル空間である。

復習 ( 双対空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

次のように定義する。

={ f:V→K|f は線形写像 }

このとき、V を 『 V の双対空間 』 という。

つまり、V=Hom(V、K)である。

Z7

V、W、U を K 上のベクトル空間とする。

このとき、次の条件(1)〜(3)が成り立つ。

また、条件(1)、(2)は同値である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(1)

K上のベクトル空間 U と h∈L(V、W;U)の対(U、h)が存在して、次を満たす。

(*1) 任意のφ∈L(V、W;U)に対し、ある Fφ∈Hom(U、U)が一意的に存在して、φ=Fφ*h となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(2)

K上のベクトル空間 U と h∈L(V、W;U)の対(U、h)が存在して、次を満たす。

(*2) U は h(V×W)によって生成される。

(*3) 任意のφ∈L(V、W;U)に対し、ある Fφ∈Hom(U、U)が存在して、φ=Fφ*h となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(3)

(U、h)、(U’、h’)が条件(1)または(2)を満たすとする。

このとき、ある同型写像ψ:U→U’が一意的に存在して、h’=ψ*h となる。

補足

定理の内容を図に示すと、

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、明らかに、(*3)が成り立つ。

そこで、(*2)を示す。

’を、h(V×W)によって生成される U の部分空間とする。

( 後は、U’=U が成り立つことを示せばよい )

を、h の終域を U’に変更した写像とする。

つまり、h∈L(V、W;U’)であり、h は全射である。

x∈U’に対し、ψ(x)=x とし、x∈U−U’に対し、ψ(x)=0 と定義する。

つまり、ψ:U→U’は U’上で恒等写像であり、U−U’上で零写像である。

いま、ψ∈Hom(U、U’)、h=ψ*h である。(★1)



i:U’→U を包含写像とする。(つまり、任意の x∈U’に対し、i(x)=x である )

いま、h=i*h である。

よって、(★1)より、h=i*ψ*h である。(★2)

一方、I:U→U を恒等写像とする。

明らかに、h=I*h である。(★3)



(★2)、(★3)より、I=i*ψである。(★4)

よって、i は全射である。

よって、i は恒等写像である。

よって、U’=U である。

(★4)について補足

詳しく言えば、i*ψや I を F として見なしているのである。

(*1)より、F は一意的であるから、i*ψ=I である。

(*1)の 「 一意性 」 の部分は、ここに効いているのである。

(★2)、(★3)のみから安直に(★4)を結論することはできない。

(2)⇒(1)の証明

(2)を仮定する。

ある F、F’∈Hom(U、U)が存在して、φ=F*h、φ=F’*h であるとする。

いま、h(V×W)上で F=F’である。

(*2)より、U は h(V×W)によって生成される。

よって、U上で F=F’である。

条件(2)が成り立つことの証明

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ w、・・・、w } を W の基底とする。

を nm次元のベクトル空間とする。

{ uij|i=1、・・・、n;j=1、・・・、m } を U の基底とする。

明らかに、(v、w)と uij は1対1に対応する。

ここで、次のように写像 h を定義する。



明らかに、h は双線形である。

また、h(v、w)=uij である。

よって、U は h(V×W)によって生成される。

つまり、(U、h)は(*2)を満たす。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ∈L(V、W;U)とおく。

ここで、Fφ を次のように定義する。



明らかに、Fφ は双線形である。

いま、任意の(v、w)∈V×W に対し、



よって、(U、h)は(*3)を満たす。

条件(3)が成り立つことの証明

(U、h)、(U’、h’)が条件(1)を満たすとする。

いま、あるψ∈Hom(U、U’)が一意的に存在して、h’=ψ*h となる。

また、あるψ’∈Hom(U’、U)が一意的に存在して、h’=ψ*h、h=ψ’*h’となる。

よって、h=ψ’*ψ*h である。(★1)

一方、I:U→U を恒等写像とする。

明らかに、h=I*h である。(★2)

(★1)、(★2)より、ψ’*ψ=I である。(※条件(1)の一意性を使用)

同様に、ψ*ψ’=I である。

よって、ψは同型写像である。

定義 ( テンソル積〜その1 )

Z7 の U を V○W と表す。

V○W を 『 V と W のテンソル積 』 という。

また、h(v、w)を v○w と表す。

また、h を 『 標準写像 』 という。

基本的に、標準写像を表すときには h を用いることにする。

これは 「 hyouzyun 」 だから h というわけである。

安直だが、この後は写像がやや多く登場するので多少は分かりやすくなるであろう。

本来、V○W や v○w は次のように表される。



しかし、レイアウトの都合上、このサイトでは ○ でテンソル積を表すことにする。

Z8

V、W をベクトル空間とする。

v∈V、w∈W とおく。

ψv、w:V×W→K をψ(φ、φ)=φ(v)φ(w)で定義する。

明らかに、ψv、w∈L(V、W;K)である。

h:V×W→L(V、W;K)を h(v、w)=ψv、w で定義する。

このとき、(L(V、W;K)、h)はテンソル積の定義を満たす。

証明

Z7(2)の証明に沿えばよい。

参考

既に示したように、(L(V、W;K)、h)はテンソル積の定義を満たす。(※Z8)

よって、(L(V、W;K)、h)は他のテンソル積と同一視できる。(※Z7(3))

そこで、最初から(L(V、W;K)、h)をテンソル積の定義として採用することもできる。

なので、テンソル積を次のように定義している書物もある。

定義 ( テンソル積〜その2 )

、V を K 上のベクトル空間とする。

写像 v○v:V×V→K を(v○v)(φ、φ)=φ(v)φ(v)で定義する。

○V を { v○v|v∈V、v∈V } から生成される部分空間とする。

このとき、V○V を 『 V、V のテンソル積 』 という。

また、v○v を 『 v、v のテンソル積 』 という。

参考

代数学の書物は定義(テンソル積〜その1)を採用していることが多い。

多様体論の書物は定義(テンソル積〜その2)を採用していることが多い。

ベクトル解析の書物ではもう少し初等的な定義を採用することが多い。

これについては第1章以降で扱う。