テンソル積の性質

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Z9 ( テンソル積の分配則 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

v、v、v∈V とする。

w、w、w∈W とする。

α、β∈K とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (αv+βv)○w=α(v○w)+β(v○w)

(2) v○(αw+βw)=α(v○w)+β(v○w

証明

明らかである。

Z10

V、W を K 上のベクトル空間とする。

dimV=n、dimW=m とする。

{ v|i=1、・・・、n } を V の基底とする。

{ w|j=1、・・・、m } を W の基底とする。

このとき、{ v○w|i=1、・・・、n ; j=1、・・・、m } は V○W の基底である。

とくに、dimV○W=dimV・dimW である。

証明

Z7(2)において既に示されている。

Z11

V、W を K 上のベクトル空間とする。

任意の x∈V○W は x=1≦i≦r○w の形で表される。

しかも、適切な変換を行うことによって次が成り立つようにできる。

(1) x=1≦i≦s’○w’の形で書ける。

(2) { v’、・・・、v’}または{ w’、・・・、w’}が1次独立である。

補足

つまり、最初から { v、・・・、v } または { w、・・・、w } が1次独立であるとしてもよい。

補足

や w の i は基底の元を表す番号ではない。

つまり、i≠j であっても、v=v となる可能性もある。

証明

明らかに、x=1≦i≦r(v○w)の形で書ける。(※Z10)

( Z10では n と m が一致するとは限らないが、足りない分は c=0 として埋めればよい )

いま、c(v○w)=c○w である。(※Z9)

そこで、c を改めて v とおけばよい。

いま、x=1≦i≦r○w である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x=1≦i≦r○w と表せるとする。(★)

{ w|1≦i≦r } は1次独立ではないとする。

いま、w、・・・、w からいくつかの w を除くことで、これが基底となるようにできる。(※線形代数)

上記の操作によって作られた基底を { w’}と表す。

いま、w=狽sksk’と表せる。

これを(★)に代入すれば x=煤`○w’の形になる。

〜には v の1次結合が入る。

そこで、これを v’で置き直せば、x=狽’○w’となる。

しかも、いま、w’は1次独立である。

Z12

L(V、W;U)と Hom(V○W、U)は(ベクトル空間として)同型である。

証明

h:V×W→V○W を標準写像とする。

つまり、h(v、w)=v○w である。

φ∈L(V、W;U)とおく。

いま、Fφ∈Hom(V○W、U)が存在して、φ=Fφ*h となる。(※Z7)

G:L(V、W;U)→Hom(V○W、U)を G(φ)=Fφ で定義する。

( 後は、G が全単射かつ線形写像であることを示せばよい )

明らかに、G は線形写像である。

明らかに、G は単射である。

F∈Hom(V○W、U)とおく。

φ=F*h とおく。

いま、φ∈L(V、W;U)である。

しかも、G(φ)=F である。

よって、G は全射である。

Z13

(V○W) と V○W は同型である。

証明

明らかに、(V○W)=Hom(V○W、K)である。

Hom(V○W、K)と L(V、W;K)は同型である。(※Z12)

この同型写像は G:L(V、W;K)→Hom(V○W、K)、G(φ)=Fφ で与えられる。(※Z12の証明)

η:V○W→L(V,W;K)をη(φ○ψ)=φ(v)ψ(w)で定義する。(★)

ただし、φ(v)ψ(w)は V×W 上の写像である。

明らかに、ηは同型写像である。

よって、合成写像 G*η は同型である。

よって、V○W と Hom(V○W、K)は同型である。

よって、V○W と(V○W)は同型である。

(★)について補足

η(φ○ψ)=φ(v)ψ(w)で定義すると述べた。

しかし、V○W の任意の元がφ○ψという形をしているわけではないことに注意せよ。

すると、(★)の定義は・・・これでよいのだろうか?

写像は、定義域の任意の元に対して値を定めなければならない。

ところが、(★)の定義は h(V×W)の元に対してのみ値を定義している。

これでは、残りの元に対して値が定まっていないことになるのでは?

しかし、問題はない。

なぜなら、V○W は h(V×W)によって生成されるからである。

つまり、h(V×W)の元に対して値を定めるだけで、

○W のすべての元に対して値を定めたことになる。

Z14

V を K 上のベクトル空間とする。

K○V と V は同型である。

証明

p:K×V→V を p(α、v)=αv で定める。

まず、対(V、p)が Z7(2)の(*2)、(*3)を満たすことを示す。

明らかに、(*2)が成り立つ。

φ∈L(K、V;U)とおく。

φ∈Hom(V、U)を Fφ(v)=φ(1、v)で定義する。

いま、Fφ*p(α、v)=Fφ(αv)=φ(1、αv)=αφ(1、v)=φ(α、v)である。

よって、Fφ*p=φである。

よって、(*3)が示された。

以上により、対(V、p)は Z7(2)の(*2)(*3)を満たす。

よって、K○V と V は同型である。(※Z7(3))

Z15

V○W と W○V は同型である。

証明

h:V×W→V○W を標準写像とする。

f:V×W→W○V を f(v、w)=w○v で定義する。

いま、ある線形写像 F:V○W→W○V が存在して、f=F*h となる。(※Z7)

つまり、w○v=f(v、w)=F*h(v、w)=F(v○w)である。

一方、g:W×V→V○W を g(w、v)=v○w で定義する。

上と同様に、ある線形写像 G=W○V→V○W が存在して、v○w=G(w○v)となる。

よって、G*F=I かつ F*G=I である。

よって、F は全単射である。

よって、F は同型写像である。