テンソルの縮約

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Z20

定義(テンソルの和)は基底変換に依存しない。

定義(テンソル積)は基底変換に依存しない。

(1)の証明

(1、2)テンソルについて考える。

いま、S’bc=Ajk、T’bc=Ajk である。(※Z14)

よって、S’bc+T’bc=A(Sjk+Tjk)である。

これは(1、2)テンソルの座標変換公式である。

(2)の証明

(1、1)テンソルと(1、2)テンソルについて考える。

いま、S’=A、T’bc=Ajk である。(※Z14)

よって、S’T’de=Apq である。

これは(2、3)テンソルの座標変換公式である。

定義 ( (1、2)テンソルの縮約 )

T を(1、2)テンソルである。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

(Tjk) を { e、e、e } に関する T の成分とする。

(T’bc) を { e’、e’、e’ } に関する T の成分とする。

Z14より、



よって、



これは共変ベクトルの座標変換公式である。(※Z3)

つまり、(Tji) は(0、1)テンソルである。

この(Tji) を 『 Tjk の i と k に関する縮約 』 という。

つまり、縮約とは、(r、s)テンソルから(r−1、s−1)テンソルを構成する手法である。

ji=Tj1+Tj2+Tj3 であることに注意。(※アインシュタインの規約)

つまり、(Tji) とは、T1i、T2i、T3i という 『 3つの数 』 である。

つまり、(Tji)において、i は 『 死んだ指標 』 である。

一方、j は 『 生きた指標 』 である。

「 指標が死んでいる・生きている 」 というのは、実際に用いられる用語である。

一般に、共変性同士、反変性同士での縮約はできない。

定義 ( 縮約〜その1 )

Tを(1、1)テンソルとする。

を T の成分とする。

これを縮約して、T を考える。

これは T=T+T+T である。

つまり、T は1つの実数である。

これを trT と表すこともある。

trT を 『 T のトレース 』 という。

定義 ( 縮約〜その2 )

S=(Sjk)を(1、2)テンソルとする。

T=(Tijkpq)を(2、3)テンソルとする。

いま、S○T=(Sjkpqrst)は(3、5)テンソルである。

これを j と p に関して縮約すると、(Sjkjqrst)である。

これを 『 S と T の縮約 』 という。

つまり、S と T の縮約は(2、4)テンソルである。

これを 『 S と T の縮合 』 と呼ぶ書物もある。

同様に、他の階数のテンソルについても縮約を考えることができる。

例えば、(1、2)テンソルT=(Tjk)と、反変ベクトル v=(v)の縮約は(1、1)テンソルである。

この場合、j と p を縮約する。

参考

T:V×V→ を2階共変テンソルとする。

明らかに、T(v、w)=Tij は、T に v と w を縮約したスカラーと見なせる。

Z21

任意の基底 E に対し、3×3個の数の組(Tij)が定まっているとする。

これに対し、任意の反変ベクトル v=(v)を縮約した(Tij)が同じ共変ベクトルを構成するとする。

このとき、(Tij)は1つの共変テンソルである。

補足

同様のことは(Tjk)についても成り立つ。

証明

(Tij)、(T’ab)を異なる基底に関する数の組とする。

v=(v)=(v’)を任意の反変ベクトルとする。

仮定より、(Tij)と(T’abv’)は同じ共変ベクトルを構成する。

ここで、任意の反変ベクトル w=(w)=(w’)を縮約すると、これはスカラーである。

よって、これらは基底に無関係に等しい。

つまり、Tij=T’ijv’w’ である。

そこで、T(v、w)=Tij とおく。

いま、T は双線形関数である。

また、Tij は T の成分である。

つまり、(Tij)は共変テンソルである。

別証明

いま、(Tij)と(T’abv’)は 『 同じ共変ベクトルの成分 』 である。

よって、T’abv’ij である。(※Z3)

一方、v は反変ベクトルであるから、v v’ である。(※Z2)

よって、T’abv’ijv’ である。

よって、T’abij である。

よって、(Tij)と(T’ab)は1つの共変テンソルの成分である。(※Z18)