テンソル積(共変性、反変性)

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定義 ( テンソルの和・スカラー倍 )

S=(Sjk)、T=(Tjk)を(1、2)テンソルとする。

次のように定義する。



つまり、S+T や kT は(1、2)テンソルである。

むろん、(r、s)テンソルについても同様に和・スカラー倍を定義できる。

ただし、テンソルの和は、同じ階数の反変性と共変性をもつ場合に定義されることに注意。

定義 ( テンソル積 )

S=(S)を(1、1)テンソルとする。

T=(Tjk)を(1、2)テンソルとする。

次のように定義する。



このとき、S○T を 『 S と T のテンソル積 』 という。

つまり、S○T は(2、3)テンソルである。

同様に、(r、s)テンソルと(r’、s’)テンソルについてテンソル積を定義できる。

この場合、テンソル積は、(r+r’、s+s’)テンソルである。

S○T と T○S が一致するとは限らに。

Z15

v、w を反変ベクトルとする。

次は同値である。

(1) v○w=w○v

(2) w は v のスカラー倍である。

証明

いま、



よって、明らかである。

Z16

E={ e、e、e } を基底とする。

{ φ、φ、φ } を E の双対基底とする。

このとき、e○e や φ○φ を表す行列は、(i、j)成分が 1 で、他は 0 である。

例えば、

証明

明らかである。

Z17

P=(Pjk)を(1、2)テンソルとする。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、{ e○φ○φ|i=1、2、3、j=1、2、3、k=1、2、3} は(1、2)テンソル空間の基底である。

また、この定理を一般の(r、s)テンソルに拡張することは簡単である。

例えば、(2、0)テンソル、(0、2)テンソルの場合は、次のように考えればよい。

(*1) { e○e|i=1、2、3、j=1、2、3 } は(2、0)テンソル空間の基底である。

(*2) { φ○φ|i=1、2、3、j=1、2、3 } は(0、2)テンソル空間の基底である。

証明

明らかである。