直交変換行列の行列式は1である

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定義 ( 直交変換行列 )

O-xyz、O-x’y’z’を2つの右手系直交座標系とする。

(e、e、e) を、O-xyz の基本ベクトルとする。

(e’、e’、e’) を、O-x’y’z’ の基本ベクトルとする。

いま、



1つの点 P の O-xyz 系における座標を(x、y、z)と表す。

また、点 P の O-x’y’z’系における座標を(x’、y’、z’)と表す。

いま、xe+ye+ze=x’e’+y’e’+z’e’ である。

よって、



よって、



ここで、上式右辺の3次行列を U と表す。

つまり、



このとき、U を 『 (x’、y’、z’) から (x、y、z) への直交変換行列 』 という。

S1

直交変換行列の行列式は1である。

証明

U を (x’、y’、z’) から (x、y、z) への直交変換行列とする。

いま、



よって、UU=I ( I は単位行列 ) である。

よって、det(U)det(U)=1である。

また、U は正則行列である。

一方、よく知られているように、行列式は転置に対して不変である。

つまり、det(U)=det(U)である。

よって、det(U)=1である。

よって、det(U)=±1である。

いま、O-xyz は O-x’y’z’ を連続的に動かすことで得られる。

O-x’y’z’ が O-xyz に一致しているときは、U=I で detU=1 である。

よって、det(U)=1である。

補足

上の証明において、最後の結論の部分が分からないという人がいるかもしれない。

既に述べたように、U は正則行列であることに注意しよう。

つまり、つねに detU≠0 である。

既に述べたように、O-x’y’z’ が O-xyz に一致しているときは detU=1 である。

つねに detU≠0 であって、初期値が detU=1 なので、detU=−1になることはあり得ない。

よって、det(U)=1である。