パラメータ付き曲面、正則曲面

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注意

f(x、y) を2変数関数とする。

このとき、∂f/∂x を、f または ∂f と表す。

定義 ( パラメータ付き曲面 )

φ:D→ を写像とする。

任意の x=(u、v)∈D に対し、φ(x) と φ(x) が1次独立であるとする。

このとき、φを 『 パラメータ付き曲面 』 という。

ただし、∂φ は∂φ/∂u の略記である。

つまり、任意の点 x∈Dに対して || φ×φ ||≠0 である。

これによって曲面に向きを付けることができる。

参考

次のように表してみよう。



これはφの微分 dφの表現行列として考えてもよい。(※A4)

φ(p)と∂φ(p)が1次独立であることは rankdφ(p)=2 を意味する。

そして、これはdφが単射であることを意味する。(※線形代数の次元定理)

定義 ( 正則曲面 )

φ:D→ をパラメータ付き曲面とする。

φは単射であるとする。

このとき、φを 『 正則曲面 』 という。

単射であることは、自己交叉しない(自分自身と交わらない)ことを意味する。

これは曲面の定義として妥当であろう。

注意

以下、正則曲面を、単に 『 曲面 』 と呼ぶ。

「 正則 」 というのは、「 普通の 」 という意味である。

つまり、正則曲面とは、特別なものではなくて、普通はそういう曲面で議論するということである。

ちなみに、正則曲面を貼り合わせたものを 『 多様体 』 という。

参考 ( u-曲線、v-曲線 )

φ(・、v): を 『 u-曲線 』 という。

φ(u、・): を 『 v-曲線 』 という。

φ(・、v)とは、φ(u、v)の v を v で固定して、u を動かすという意味である。

この視点に立つと、曲面とは、u 曲線 と v 曲線が網目状に描かれた曲面である。

また、∂φ(p)は、u-曲線の速度ベクトルである。

また、∂φ(p)は、v-曲線の速度ベクトルである。

つまり、u 曲線と v 曲線の速度ベクトルが1次独立であるということである。

これは曲面の定義として自然であろう。