固有値問題インデックス

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対称行列に伴う線形変換を 『 対称変換 』 という。

対称変換に伴う線形形式を 『 対称形式 』 という。

対称変換は幅広い分野で、エルミート変換は物理学で有用である。

『 線形変換のスペクトル分解 』 は 『 行列の対角化 』 の一般化である。

ちなみに、関数解析に登場する 『 自己共役作用素 』 はエルミート変換の一般化である。

3章と4章は独立している。




第0章(S) 参考(線形代数)

□ 線形変換の表現行列
□ 固有値・対角化の要点

第1章(A) 内積空間

□ 内積、ノルム
□ span、シュミットの正規直交化(固有値問題ver)

□ 直和分解
□ 直交分解

第2章(B) 複素化

□ ベクトル空間の複素化

□ 随伴行列、随伴変換、転置変換

★ 対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列
★ 対称変換、直交変換、エルミート変換、ユニタリ変換

□ 対称変換の複素化と表現行列

第3章(C) 行列の対角化

□ 三角化定理

□ 対称行列の対角化
□ エルミート行列の対角化
□ 正規行列の対角化

第4章(D) スペクトル分解

□ ベクトル空間の射影
□ 固有値問題が解ける⇔半単純

□ 対称変換のスペクトル分解
□ エルミート変換のスペクトル分解
□ 正規変換のスペクトル分解

□ 正定値双1次形式とスペクトル分解