ベクトル空間の射影

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定義 ( 付く射影 )

V をベクトル空間とする。

、V を V の部分空間とする。

V=V□V であるとする。

いま、任意の v∈V は、v=v+v ( v∈V、v∈V ) の形で一意に表せる。

:V→V を p(v)=v ( k=1、2 ) で定義する。

このとき、p を 『 V□V に付く射影 』 という。

D1

V をベクトル空間とする。

、V を V の部分空間とする。

V=V□V であるとする。

:V→V を V□V に付く射影とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) I=p+p

(2) p*p=p ( k=1、2 )

(3) p*p=p*p=0

補足

V=V□・・・□V の場合は、

(*1) I=p+・・・+p

(*2) p*p=p ( k=1、・・・、r )

(*3) p*p=0 ( i≠j )

証明

明らかである。

D2 ( D1の逆 )

V をベクトル空間とする。

:V→V ( k=1、2 ) を線形変換とする。

次が成り立つとする。

(*1) I=p+p

(*2) p*p=p ( k=1、2 )

(*3) p*p=p*p=0

このとき、p は V=p(V)□p(V)に付く射影である。

証明

=p(V)、V=p(V)とおく。

いま、V と V は V の部分空間である。(※線形代数)

( 線形写像の像が部分空間になることは線形代数でよく知られている )

v∈V∩V とおく。

いま、ある x、y∈V が存在して、v=p(x)=p(y)となる。

ここで、上式の両辺に p を作用させる。

すると、p*p(x)=p(x)=v であり、p*p(y)=0 である。

よって、v=0 である。

よって、V∩V={0}である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈V とおく。

いま、(*1)より、v=I(v)=p(v)+p(v)∈V+V である。

よって、V⊂V+V である。

一方、明らかに、V+V⊂V である。

よって、V=V+V である。(★2)

(★1)、(★2)より、V=V□V である。(※A7)

つまり、V=p(V)□p(V)である。

よって、p は p(V)□p(V)に付く射影である。

D3 ( 射影に対する同値条件 )

p:V→V を線形変換とする。

このとき、次は同値である。

(1) p は V の直和分解に付く射影である。

(2) p*p=p

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

=p とおく。

=I−p とおく。

いま、明らかに、I=p+p である。(★1)

また、p*p=(I−p)*(I−p)=I−2p+p*p=I−p=p である。(★2)

また、p*p=p*(I−p)=p−p*p=p−p=0 である。(★3)

また、p*p=(I−p)*p=p−p*p=0 である。(★4)

(★1)〜(★4)より、p は射影である。(※D2)