エルミート変換のスペクトル分解

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D11

φ:V→V をエルミート変換とする。

W を V のφ不変部分空間とする。

このとき、W はφ不変である。

証明

w∈W とおく。

いま、任意の v∈W に対し、f(v)∈W である。

よって、(v、f(w))=(f(v)、w)=0 である。

よって、f(w)∈W である。

D12 ( エルミート変換のスペクトル分解 )

φ:V→V をエルミート変換とする。

( つまり、V は複素ベクトル空間である )

このとき、次が成り立つ。

(1) φの固有値はすべて実数である。

(2) 異なる固有値に関する固有ベクトルは互いに直交する。

(3) φは一意にスペクトル分解できる。

(1)の証明

f(v)=λv ( v≠0 ) とする。

いま、

(2)証明

f(v)=λv、f(w)=μw (λ≠μ) とする。

いま、(1)より、



よって、(λ−μ)(v、w)=0 である。

よって、(v、w)=0 である。

(3)の証明

対称変換の場合と全く同じ。

参考 ( まとめ )

A をエルミート行列とする。

既に示したように、エルミート行列はつねに対角化可能である。

つまり、あるユニタリ行列 U=(uij) が存在して、UAU=diag(λ、・・・、λ)となる。

しかも、λ、・・・、λ は A の固有値であり、実数である。

U=(u(1)、・・・、u(n))とおく。

つまり、各 u(k) は n 次列ベクトルである。

いま、AU=Udiag(λ、・・・、λ)である。

よって、Au(i)=λ(i) である。

また、次が成り立つ。



つまり、{ u(1)、・・・、u(n) } は の正規直交基底である。

いま、任意の x∈ は次のように表される。

(*1) x=(x、u(1))u(1)+・・・+(x、u(n))u(n)

よって、次が成り立つ。

(*2) Ax=λ(x、u(1))u(1)+・・・+λ(x、u(n))u(n)

また、(*1)と(*2)を比較すると分かるように、次の2つは同じ意味をもつ。

(*3) x に A を掛ける。

(*4) 展開の各項に A の固有値を掛ける。

ちなみに、上記の議論は、次のことと対応している。

(*5) 微分演算はフーリエ変換(またはフーリエ級数展開)で掛け算に変化する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ax=y を方程式とする。

いま、y=(y、u(1))u(1)+・・・+(y、u(n))u(n) と表せる。

話を簡単にするため、λ≠0、・・・、λ≠0 であるとする。

x=λ−1(y、u(1))u(1)+・・・+λ−1(y、u(n))u(n) とおく。

いま、この x は Ax=y を満たす。

番号を付け替えて、λ≦・・・≦λ とする。

さらに、この中から相異なる固有値を取り出してμ、・・・、μ と表す。

つまり、μ<・・・<μ かつ { μ、・・・、μ }={λ、・・・、λ} である。

いま、(*1)より、明らかに、=W(μ)□・・・□W(μ)である。(※定義:固有空間)

また、(**)より、i≠j ならば、W(μ)の任意の元とW(μ)の任意の元は直交する。

から W への直交射影とする。

すると、(*1)と(*2)を次のように表せる。

(*5) I=P+・・・+P

(*6) A=μ+・・・+μ

このとき、(*5)を 『 A に関する単位の分解 』 という。

また、(*6)を 『 A のスペクトル分解 』 という。

上では 『 A に関する単位の分解 』 について述べた。

これと同様のことが、線形作用素のスペクトル分解についても議論できる。

とくに、自己共役作用素に対し、単位の分解が一意に存在する。

これは 『 スペクトル定理 』 と呼ばれる。

スペクトル定理は、関数解析の教科書などで登場する。