対称変換の複素化と表現行列

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B17 ( 対称変換の複素化はエルミート変換である )

φ:V→V を対称変換とする。( つまり V は実ベクトル空間である )

φ:V→V をφの複素化とする。

このとき、φ はエルミート変換である。

証明

v、w∈V とおく。

いま、v=v+iv、w=w+iw ( v、v、w、w∈V ) と表せる。

計算すると、

B18 ( 直交変換の複素化はユニタリ変換である )

φ:V→V を直交変換とする。( つまり V は実ベクトル空間である )

φ:V→V をφの複素化とする。

このとき、φ はユニタリ変換である。

証明

v、w∈V である。

いま、v=v+iv、w=w+iw ( v、v、w、w∈V ) と表せる。

計算すると、

B19

(1) 対称変換の表現行列は対称行列である。

(2) 直交変換の表現行列は直交行列である。

(3) エルミート変換の(正規直交基底に関する)表現行列はエルミート行列である。

(4) ユニタリ変換の(正規直交基底に関する)表現行列はユニタリ行列である。

(1)の証明

φ:V→V を対称変換とする。( つまり、V は実ベクトル空間である )

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。

A=(aij)を E に関するφの表現行列とする。

いま、(φ(e)、・・・、φ(e))=(e、・・・、e)A である。(※S1)

よって、



一方、



よって、(*1)と(*2)より、A=A である。

(2)の証明

φ:V→V を直交変換とする。

E={ e、・・・、e } を V の正規直交基底とする。

A=(aij)を E に関するφの表現行列とする。

いま、(φ(e)、・・・、φ(e))=(e、・・・、e)A である。(※S1)

よって、



一方、



(*1)、(*2)より、



つまり、A・A=I である。

(3)の証明

E={ e、・・・、e } を正規直交基底とする。

A=(aij) を E に関するφの表現行列とする。

いま、(φ(e)、・・・、φ(e))=(e、・・・、e)A である。(※S1)

よって、



一方、定義(随伴行列)より、



よって、A=A である。(※B15)

(4)の証明

(3)と同様である。