ベクトル空間の複素化

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参考

よく知られているように、 は複素ベクトル空間である。

同様に、 は実ベクトル空間である。

また、 を実ベクトル空間と見なすこともできる。

一方、 を(通常の演算に関して)複素ベクトル空間と見なすことはできない。

実際、K 上のベクトル空間 V の定義では 「 v∈V、k∈K ⇒ kv∈V 」 となっている。

V=、K= とすると、この前提が成り立たない。

むろん、複素ベクトル空間とは 「 上のベクトル空間 」 である。

また、実ベクトル空間とは 「 上のベクトル空間 」 である。

参考

は複素ベクトル空間として n 次元である。

ただし、 は実ベクトル空間として 2n 次元である。

簡単のため、n=1として について考えよう。

いま、1、i∈ である。

これらは複素係数で考えると1次従属である。

実際、1・1+i・i=0 である。

一方、実係数で考えると、1次独立である。

実際、c・1+c・i=0 ( c、c ) とすると、c=0、c=0 である。

つまり、 は実ベクトル空間として2次元である。

参考

上では複素ベクトル空間と実ベクトル空間を比較した。

しかし、

「 複素ベクトル空間と実ベクトル空間の関係がよく分からない 」

・・・と感じる人も多いであろう。

そこで、以下、これについて議論する。

B1 ( ベクトル空間の複素化 )

V を実ベクトル空間とする。

このとき、ある複素ベクトル空間 V が存在して、次を満たす。

(1) V⊂V

(2) V の演算を V 上で考えると、これは V の演算と一致する。

(3) V の基底は V の基底である。

補足

(3)は 「 V が n 次元ならば V も n 次元である 」 を意味する。

補足

(1)には V⊂V と書かれている。

それゆえに誤解されやすいかもしれないが、V は V の部分空間ではない。

の部分空間 W とは 「 W の複素係数の1次結合が W に属すること 」 を意味する。

しかし、(3)より、V の元に対する複素係数の1次結合は V に一致する。

つまり、V の元に対する複素係数の1次結合は、V の外に出る。

証明

v∈V と虚数 i に対し、形式的に i*v と表す。

v∈V と i*w ( w∈V ) に対し、形式的に v□(i*w) と表す。

v□(i*w)全体を V と表す。

この時点では、* や □ は単なる記号であり、何も意味はない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、等号を次のように定める。

(*0) v□(i*w)=v□(i*w) ⇔ 「 v=v かつ w=w

の元に対して和とスカラー倍を次のように定義する。

(*1) v□(i*w)+v□(i*w)=(v+v)□(i*(w+w))

(*2) (a+ib)・(v□(i*w))=(av−bw)□(i*(bv+aw)) ( a、b∈

明らかに、V は(*1)と(*2)に関して複素ベクトル空間である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、(*1)と(*2)より、

(*3) v□(i*0)+v□(i*0)=(v+v)□(i*0)

(*4) a・(v□(i*0))=(av)□(i*0) ( a∈

つまり、V の線形構造は V において保存されている。

つまり、v□(i*0)∈V と v∈V を同一視できる。(★0)

つまり、V⊂V と見なせる。

つまり、(1)と(2)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(3)を示す。

、・・・、e を V の基底とする。

+・・・+c=0 ( c=a+ib ) とおく。

つまり、(*2)より、(a+・・・+a)□(i*(b+・・・+b))=0□(i*0)である。

よって、(*0)より、a+・・・+a=0 かつ b+・・・+b=0 である。

よって、a=0、b=0 ( k=1、・・・、n ) である。

よって、c=0 ( k=1、・・・、n ) である。

以上により、e、・・・、e は V において1次独立である。(★1)

v□(i*w)∈V ( v、w∈V ) とおく。

いま、v=a+・・・+a、w=b+・・・+b ( a、b ) と表せる。

よって、(*1)より、v□(i*w)=a□(i*b)+・・・+a□(i*b)である。

つまり、(*2)より、v□(i*w)=(a+ib)e+・・・+(a+ib)e と表せる。

つまり、V の任意の元は { e、・・・、e } の(複素係数の)1次結合で表せる。

つまり、{ e、・・・、e } は V を生成する。(★2)

(★1)、(★2)より、{ e、・・・、e } は V の基底である。

つまり、(3)が示された。

(★0)について補足

これは難しい話ではない。

v、w∈V とおく。

これに対し、v□(i*0)、w□(i*0)∈V が自然に対応する。

むろん、v、w∈V に対して v+w∈V が定まる。

一方、(*3)より、v□(i*0)、w□(i*0)∈V に対し、(v+w)□(i*0)∈V が定まる。

むろん、v+w∈V と (v+w)□(i*0)∈V は対応している。

ここでは和について述べたが、スカラー倍(実数倍)についても同様である。

つまり、演算結果も含めて、V の元に対して V の元が対応している。

そこで、v∈V と v□(i*0)を同一視できる。

以上が(★0)の内容である。

参考

以下、上記の v□(i*w) を v+iw と表す。

B2 ( 内積空間の複素化 )

V を実内積空間とする。

を V の複素化とする。

このとき、V に内積を定義することで、V が V の拡張となるようにできる。

しかも、この拡張は一意である。

証明

(・、・)を V の内積とする。

=v+iw、u=v+iw∈V に対し、次のように定義する。

(*0) (u、u=(v、v)+(w、w)+i((w、v)−(v、w))

明らかに、次が成り立つ。

(*1) (v、v)≧0 ((v、v)=0 ⇔ v=0 )

(*2) (v、w)=(w、v)

(*3) (v+w、u)=(v、u)+(w、u)

一方、λ∈ に対し、



また、λ=i の場合、



よって、λ=a+ib ( a、b∈ ) の場合、



つまり、

(*4) (λu、u=λ(u、u

以上、(*1)〜(*4)より、(・、・) は V の内積である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v、w∈V とおく。

いま、v=v+i0、w=w+i0 と見なせる。

よって、(*0)より、(v、w)=(v、w)である。

つまり、(・、・) は V 上で(・、・)と一致する。

つまり、(・、・) は (・、・) の拡張である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

(・、・) を V の内積で、(・、・)の拡張であるとする。

=v+iw、u=v+iw∈V とおく。

S12、(*0)より、



つまり、(u、u=(u、u である。

B3 ( 線形変換の複素化 )

V を実ベクトル空間とする。

を V の複素化とする。

f:V→V を線形変換とする。

このとき、ある線形写像 f:V→V が存在して、f は f の拡張である。

しかも、この拡張は一意である。

証明

u=v+iw∈V とおく。

:V→V を f(u)=f(v)+if(w)で定義する。

いま、f(iu)=f(−w+iv)=−f(w)+if(v)=if(u)である。

よって、任意のλ∈ に対し、f(λu)=λf(u)である。

一方、明らかに、u、u∈V に対して f(u+u)=f(u)+f(u)である。

以上により、f は線形変換である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈V とおく。

いま、v=v+i0 と見なせる。

よって、f(v)=f(v)である。

また、明らかに、この拡張は一意である。

B4 ( 複素化に対して表現行列は不変 )

f:V→V を線形変換とする。

:V→V を f の複素化とする。

E を V の基底とする。

既に示したように、E は V の基底である。(※B1)

このとき、次の2つは一致する。

(*1) E に関する f の表現行列

(*2) E に関する f の表現行列

証明

E={ e、・・・、e } とおく。

A を E に関する f の表現行列とする。

いま、(f(e)、・・・、f(e))=(f(e)、・・・、f(e))=(e、・・・、e)A である。(※B3、S1)

つまり、A は E に関する f の表現行列である。

B5

f:V→V を線形変換とする。

:V→V を f の複素化とする。

このとき、f の固有値・固有ベクトルは、f の固有値・固有ベクトルである。

証明

A を f の表現行列とする。

その固有方程式は det(xI−A)=0 である。

既に示したように、A は f の表現行列である。(※B4)

つまり、f は同じ固有値をもつ。